UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 6 – Questão 15
Assinale qual dos seguintes pares de funções são soluções da equação homogênea associada à equação .
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema deu uma equação diferencial
E mandou assinalar qual dos pares de funções dadas são soluções da equação HOMOGÊNEA ASSOCIADA.
Vamos primeiro ver quem é essa equação homogênea: é quando a gente coloca zero do lado direito da equação diferencial!
Isso mesmo! Sumimos com aquele feioso!
E agora precisamos descobrir qual par de funções e são soluções pra essa equação.
Bom, pra gente descobrir isso é bem tranquilo: uma solução de uma equação diferencial é aquela função que satisfaz essa equação diferencial. Ou seja, se a gente substituir a solução onde tem na equação, a derivada dela na equação e a derivada segunda também na equação, e der uma igualdade matemática (tipo ou número número), então essa função é sim solução da equação diferencial.
Então é chute mesmo! É ir testando cada uma das funções dadas até achar a alternativa na qual as duas funções dadas são soluções.
Passo 2
Vamos começar testando o último par:
Pra testar, vamos testar cada função separadamente. Para que esse par seja o escolhido, as duas funções e precisam ser solução, ou seja, quando derivarmos e substituirmos, precisamos que as duas nos forneçam uma igualdade matemática.
Começando pela
A função:
A primeira derivada:
E a segunda derivada:
A equação é
Agora é só substituir:
Oba! Encontramos uma igualdade matemática!
a função é solução da equação diferencial! Se ela não fosse, a gente encontraria algo do tipo:
Ou ainda
Se a gente encontrasse qualquer coisa assim, a função não seria solução.
Mas no nosso caso é sim solução e tá tudo certo até agora.
Precisamos testar a .
Passo 3
Agora a
A derivada primeira
E a segunda
Agora é só substituir na equação diferencial
Uhu! Encontramos de novo outra igualdade matemática! Portanto as duas soluções dadas na letra (c) são soluções dessa equação diferencial!
Você pode fazer como exercício testar as outras e verificar que não são soluções =)
Beleza? Espero ter te ajudado!
Até a próxima!