Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Passo 1

Preparado para resolver mais uma EDO homogênea?

16 y i v + 24 y ' ' + 9 y = 0

Colocando na forma da equação característica

16 r 4 + 24 r 2 + 9 = 0

Essa é uma equação biquadrada, que podemos resolver substituindo r 2 = x . Fazendo essa substituição ficamos com

16 x 2 + 24 x + 9 = 0

Resolvendo

∆ = 576 - 576 = 0

x = - 3 4

Desfazendo a substituição

r 2 = x = - 3 4

r = ± 3 2 i

Passo 2

Perceba que nesse caso temos raízes duplas então temos que lembrar de multiplicar as soluções por x , como vimos lá na teoria.

Se as raízes fossem únicas teríamos

y x = C 1 cos ⁡ 3 x 2 + C 2 sen ⁡ 3 x 2  

Mas como são duplas precisamos adicionar

C 3 x cos ⁡ 3 x 2 + C 4 x sen ⁡ 3 x 2

Então a solução geral do problema fica

y x = C 1 cos ⁡ 3 x 2 + C 2 sen ⁡ 3 x 2 + C 3 x cos ⁡ 3 x 2 + C 4 x sen ⁡ 3 x 2

Resposta

  y x = C 1 cos ⁡ 3 x 2 + C 2 sen ⁡ 3 x 2 + C 3 x cos ⁡ 3 x 2 + C 4 x sen ⁡ 3 x 2

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