UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Cálculo 2 - Avaliação EDO Alta Ordem 2020.2, Questão 1d
Determine a solução geral das EDO’s homogêneas:
d)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma EDO homogênea de terceira ordem e pediu pra gente encontrar a solução geral dela. Beleza, mas como a gente resolve isso?
Galera, os métodos de resolução para EDO’s de segunda ordem também podem ser estendidos pra EDO’s de ordem mais alta. Então, o esquema de resolução é o mesmo: a gente vai montar uma equação característica para a EDO, calcular suas raízes e analisar cada caso.
Se nós tivermos raízes reais e distintas, nossa solução tem a forma:
Se nossas raízes forem reais e iguais, vamos ter uma solução da forma:
E, por fim, se as raízes forem complexas com , temos uma solução da forma:
Vamos ver em qual dos três caso se encaixa nossa EDO.
Vamos lá!
Passo 2
Para a nossa EDO:
Temos a equação característica:
Vamos tentar agrupar os termos:
Colocando o termo comum em evidência, temos:
Repara que pra esse produto ser verdade ou . Dessa forma, temos:
E
Assim, temos as raízes:
Então, temos duas raízes complexas na forma , com . Sendo assim, nossa solução é da forma:
Substituindo os valores de , e na forma complexa, temos:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉