Determine os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma e^(r * x) .

b) y'' + y' - 6y = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos responder essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO homogênea de segunda ordem e uma função exponencial e r x . Ele quer que a gente verifique os valores de r para os quais a EDO tem uma solução na forma e r x . Lembra como é que faz isso?

Nós precisamos derivar a nossa função exponencial, substituir na EDO e verificar os valores de r igualando a equação a zero.

Vamos lá!?

Passo 2

Vamos começar derivando e r x :

y ' = d d x e r x = r e r x

Vamos precisar derivar novamente, então vamos lá:

y ' ' = d d x r e r x

Lembra da regra do produto na derivação? Ela tem a forma:

f ∙ g ' = f ' ∙ g + f ∙ g '

Como nós temos um produto de duas funções, r e e r x , vamos precisar aplica-la. Assim:

d d x r e r x = 1 ∙ e r x + r ∙ e r x

Ou seja,

y ' ' = e r x + r e r x

Passo 3

Agora vamos substituir tudo na nossa EDO:

y ' ' + y ' - 6 y = 0

e r x + r e r x + r e r x - 6 e r x = 0

Não esquece que y = e r x , beleza? Por isso a gente substituiu ele ali também. Agora vamos colocar e r x em evidência:

e r x 1 + r + r - 6 = 0

Resolvendo dentro dos parênteses:

e r x 2 r - 5 = 0

Como a função exponencial nunca é zero, pra que essa igualdade seja verdadeira, temos que:

2 r - 5 = 0

Isolando r :

2 r = 5

r = 5 2

E o quê que isso quer dizer? Quer dizer que esse é o valor que r deve assumir para que e r x seja solução da nossa EDO. Fechou?

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

r = 5 2

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