UTFPR, Ponta Grossa, Equações Diferenciais Ordinárias, Listas EDO 2 Ordem e Ordem Superior - Segunda Lista de Exercícios, Questão 2b
Resolva as EDO de ordem maior a seguir
Passo 1
Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de EDO. Dessa vez temos que resolver EDO´S de segunda ordem. E aí? Lembram como resolvemos esse tipo de problema?
Vamos fazer uma revisão!!!!
Vamos supor que temos uma EDO de segunda ordem homogênea. Isso é, da seguinte forma:
A primeira coisa que fazemos é encontrar o polinômio característico e, depois, suas raízes.
O polinômio é super simples de construir, basta pegarmos os coeficientes da EDO homogênea e ir plugando as potências do polinômio. Na prática fica assim.
Ou seja, as potências dos polinômios ficam com os coeficientes das derivadas de mesma ordem. Isto é, potência com segunda derivada, e assim por diante.
Agora achamos as raízes. Mas como o polinômio característico é do segundo grau. Usamos Bhaskara. Sendo assim suponha que e são as raízes do polinômio característico.
Se , Então a solução geral da EDO homogênea é:
com
Se , Então a solução geral da EDO homogênea é:
com
Se , Então a solução geral da EDO homogênea é:
com
Deu para revisar? Show!!!!
Passo 2
Vamos resolver nossa EDO
Vamos calcular o polinômio característico. Pela nossa revisão ele é
Vamos obter suas raízes
Por Bhaskara, as raízes são
Ou seja, temos quatro raízes complexas, das quais apenas duas são diferentes. Então a nossa solução é da forma
Ou seja, será a soma da solução gerada por cada uma das raízes. Como temos duas
com
Como nosso , então A solução é:
Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de EDO, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!