Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Passo 1

E lá vamos nós resolver mais essa EDO homogênea.

y ' ' ' - y = 0

Se colocarmos na forma da equação característica

r 3 - 1 = 0

Vemos de cara que umas das raízes é

r = 1

Passo 2

A próxima coisa a fazer para encontrar as outras raízes, e diminuir o grau da nossa equação, usando o método de Briot-Ruffini. Lembra como funcionava?

r 3 - 1 = 0

A primeira coisa a fazer é escrever essa equação completa, colocando 0 vezes o r elevado aos graus que não aparecem.

Agora montamos o seguinte quadrinho

No canto superior esquerdo colocamos os coeficientes da nossa equação, no canto superior direito colocamos o valor na nossa raiz.

Agora nós fazemos os seguintes passos. Primeiro descemos o primeiro coeficiente, que vai ficar

O próximo passo é multiplicar esse número que baixamos pelo número ali no canto superior direito, e depois somar com o próximo coeficiente.

Nesse caso fazemos

1 . 1 + 0 = 1

Esse primeiro 1 é o coeficiente, o 1 é nossa raiz ali no canto esquerdo, e aquele 0 é o próximo coeficiente.

Vamos achar 1 , colocamos esse valor embaixo do coeficiente 0 , ficando

Deu para dar uma lembrada de Briot-Rufini né? Repetindo isso até terminar o método, vamos ficar com

Então nossa equação reduzida fica

r 2 + r + 1 = 0

Passo 3

Entrando as raízes dessa nova equação

r 2 + r + 1 = 0

∆ = 1 - 4 = - 3 < 0

Ficamos com

r = 1 2 ± 3 2 i

Passo 4

Por fim, precisamos encontrar a solução relacionada a cada uma das raízes que determinamos.

r = 1 ;         y = C 1 e x

r = 1 2 ± 3 2 i ;       y = C 2 e - x 2 cos ⁡ 3 x 2 + C 3 e - x 2 sen ⁡ 3 x 2

Então a solução geral será:

y x = C 1 e x + C 2 e - x 2 cos ⁡ 3 x 2 + C 3 e - x 2 sen ⁡ 3 x 2

Resposta

y x = C 1 e x + C 2 e - x 2 cos ⁡ 3 x 2 + C 3 e - x 2 sen ⁡ 3 x 2

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