Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Passo 1

Vamos colocar a EDO na forma a y ' ' + b y ' ' + c y ' + d y = 0 :

y ' ' ' + 12 y ' ' + 36 y ' = 0

Legal! A equação já está na forma que queremos!

Passo 2

Encontrar a , b e c :

Comparando as equações:

a y ' ' ' + b y ' ' + c y ' t + d y = 0 1 y ' ' ' + 12 y ' ' + 36 y ' t + 0 y = 0

Logo:

a = 1 b = 12 c = 36 d = 0

Como é uma equação de terceira ordem, temos uma equação característica de grau três. Assim, escrevendo a equação característica temos:

r 3 + 12 r 2 + 36 r = 0

Então, temos que uma raiz é: r = 0 . Agora devemos resolver a equação de segundo grau.

r 2 + 12 r + 36 = 0

Passo 3

Verificar discriminante: Δ > 0 , Δ = 0 ou Δ < 0 ?

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = 12 2 - 4 1 ( 36 )

⇒ Δ = 0

Passo 4

Assim, temos que as raízes da equacao são:

r 1 = 0 r 2 = - 6 r 3 = - 6

Passo 5

Encontrar a solução:

y = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + c 3 x e r 2 x

Substituindo os valores de r :

y = c 1 + c 2 e - 6 x + c 3 x e - 6 x

Passo 6

Resolver o PVI:

Calculando as derivadas:

y ' = - 6 c 2 e - 6 x + c 3 ( e - 6 x - 6 x e - 6 x )

y ' ' = 36 c 2 e - 6 x + c 3 ( - 6 e - 6 x - 6 e - 6 x + 36 x e - 6 x )

y ' ' = 36 c 2 e - 6 x + c 3 ( - 12 e - 6 x + 36 x e - 6 x )

Assim, com as condições iniciais, podemos escrever:

c 1 + c 2 = 0 - 6 c 2 + c 3 = 1 36 c 2 - 12 c 3 = - 7

Logo:

c 1 = 5 36 c 2 = - 5 36 c 3 = 1 6

Substituindo as constantes na solução geral:

y = 5 36 - 5 36 e - 6 x + 1 6 x e - 6 x

Resposta

y = 5 36 - 5 36 e - 6 x + 1 6 x e - 6 x

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