Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Nos exercícios 13 e 14 resolva o PVI.

14) y 4 - 3 y 3 + 3 y ' ' - y ' = 0 ;             y 0 = y ' 0 = 0 ;             y ' ' 0 = y ' ' ' 0 = 1

Passo 1

E lá vamos nós resolver mais essa EDO homogênea.

y ( 4 ) - 3 y 3 + 3 y ' ' - y ' = 0

Se colocarmos na forma da equação característica

r 4 - 3 r 3 + 3 r 2 - r = 0

Manipulando um pouquinho

r r 3 - 3 r 2 + 3 r - 1 = 0

E já encontramos uma raiz

r = 0

Passo 2

Agora ficamos com

r 3 - 3 r 2 + 3 r - 1 = 0

Que de cara da pra ver uma raiz, r = 1 .

A próxima coisa a fazer para encontrar as outras raízes, é diminuir o grau da nossa equação, usando o método de Briot-Ruffini. Lembra como funcionava?

r 3 - 3 r 2 + 3 r - 1 = 0

A primeira coisa a fazer é escrever essa equação completa, colocando 0 vezes o r elevado aos graus que não aparecem.

Agora montamos o seguinte quadrinho

No canto superior esquerdo colocamos os coeficientes da nossa equação, no canto superior direito colocamos o valor na nossa raiz.

Agora nós fazemos os seguintes passos. Primeiro descemos o primeiro coeficiente, que vai ficar

O próximo passo é multiplicar esse número que baixamos pelo número ali no canto superior direito, e depois somar com o próximo coeficiente.

Nesse caso fazemos

1 . 1 + - 3 = - 2

Esse primeiro 1 é o coeficiente, o 1 é nossa raiz ali no canto esquerdo, e aquele -2 é o próximo coeficiente.

Vamos achar - 2 , colocamos esse valor embaixo do coeficiente - 3 , ficando

Deu para dar uma lembrada de Briot-Rufini né? Repetindo isso até terminar o método, vamos ficar com

Então nossa equação reduzida fica

r 2 - 2 r + 1 = 0

Passo 3

Entrando as raízes dessa nova equação

r 2 - 2 r + 1 = 0

∆ = 4 - 4 = 0

Ficamos com

r = 1

Ou seja, temos uma raiz tripla r = 1

Passo 4

O próximo passo é encontrar a solução relacionada a cada uma das raízes que determinamos.

r = 0 ;         y = C 1

Atenção aqui! Lembre-se que quando temos raízes múltiplas, precisamos multiplicar a solução por x e no nosso caso temos uma raiz tripla. Então a solução para essa raiz será:

r = 1 ;         y = C 2 e x + C 3 x e x + C 4 x 2 e x

Então a solução geral será:

y x = C 1 + C 2 e x + C 3 x e x + C 4 x 2 e x

Passo 5

Por fim, precisamos aplicar as condições iniciais para encontrar a solução do PVI. Para isso precisamos derivar a nossa solução geral, vai ficar grandinho, mas vamos lá com paciência:

y ' = C 2 e x + C 3 e x + C 3 x e x + 2 C 4 x e x + C 4 x 2 e x

y ' ' = e x C 2 + 2 C 3 + 2 C 4 + x e x C 3 + 4 C 4 + C 4 x 2 e x

y ' ' ' = e x C 2 + 3 C 3 + 2 C 4 + x e x C 3 + 6 C 4 + C 4 x 2 e x

Aplicando as condições

y 0 = y ' 0 = 0

y ' ' 0 = y ' ' ' 0 = 1

C 1 + C 2 = 0

C 2 + C 3 = 0

C 2 + 2 C 3 + 2 C 4 = 1

C 2 + 3 C 3 + 6 C 4 = 1

Resolvendo o sistema encontramos

C 1 = 2 ; C 2 = - 2 ; C 3 = 2 ; C 4 = - 1 2

E a solução do PVI é:

y x = 2 - 2 e x + 2 x e x - 1 2 x 2 e x

Resposta

y x = 2 - 2 e x + 2 x e x - 1 2 x 2 e x

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