Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Dada a equação diferencial y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = 0 assinale a alternativa que contenha uma solução dessa equação:

  1. y = x 2 e x
  2. y = x e 2 x
  3. y = x e - x

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

Para saber se uma função é solução da equação diferencial, precisamos derivar quantas vezes forem necessárias, substituir as derivadas e encontrar zero. Então é isso que vou fazer!

Vou começar testando a letra a:

y = x 2 e x

y ' = 2 x e x + x 2 e x

y ' ' = 2 e x + 2 x e x + 2 x e x + x 2 e x = 2 e x + 4 x e x + x 2 e x

y ' ' ' = 2 e x + 4 e x + 4 x e x + 2 x e x + x 2 e x = 6 e x + 6 x e x + x 2 e x

Passo 2

Agora é só substituir:

y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = 0  

6 e x + 6 x e x + x 2 e x - 3 2 e x + 4 x e x + x 2 e x + 3 . 2 x e x + x 2 e x - x 2 e x =

6 e x - 6 e x + 6 x e x - 12 x e x + 6 x e x + x 2 e x - 3 x 2 e x + 3 x 2 e x - x 2 e x = 0

Opa! Deu certo!

(sim, eu tinha feito antes, não se assuste!)

Então a ideia é essa: derivar e substituir!

Assim a resposta certa é (a)

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

( a )

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