Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

A solução do problema de valor inicial y ' ' + 4 y = - 2 ,   y π 8 = 1 2 ,   y ' π 8 = 2 ,

É:

  1. 2 s e n   2 t + 1 2
  2. 2 c o s   2 t - 1 2
  3. 2 s e n   2 t - 1 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

Vamos primeiro identificar a equação característica da EDO homogênea associada! E equação homogênea é quando temos zero do outro lado da igualdade.

A EDO

y ' ' + 4 y = 3 s e n 2 t

Colocando zero do lado direito temos:

y ' ' + 4 y = 0

Essa é a equação diferencial homogênea associada. Ela tem coeficientes constantes, então vamos supor uma solução do tipo exponencial.

Supondo uma solução geral do tipo exponencial temos:

y t = A e λ t

As derivadas primeira e segundas:

y ' = A λ e λ t

y ' ' = A λ 2 e λ t

E agora precisamos substituir na EDO:

A λ 2 e λ t + 4 A e λ t = 0

Podemos dividir tudo por A e λ t e ficamos com a famosa equação característica:

λ 2 + 4 = 0

As soluções dessa equação vão nos dizer quais tipos de soluções vamos ter para a EDO homogênea. Sabendo essas soluções, podemos analisar a EDO não homogênea e assim dizer se as soluções vão ser LI ou LD. Sempre que elas forem parecidas (mesmo seno/cosseno, mesma exponencial, mesmo tipo de solução...) precisamos retirar essa dependência linear para garantir que o espaço das soluções seja todo contemplado.

Para retirar essa dependência linear basta multiplicar o núcleo da solução (a função que se repete) por um polinômio qualquer. Mas vamos ver isso mais para a frente. Primeiro precisamos resolver a equação característica.

Passo 2

E a equação característica

λ 2 + 4 = 0

Agora para achar as raízes vamos usar bháskara:

λ = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

λ = 0 ± - 4 2

λ = ± 2 i

Essas raízes são do tipo λ = a ± b i então temos que as soluções são:

y h = c 1 e a t cos ⁡ b t + c 2 e a t s e n ( b t )

Como a = 0 e b = 2

Então a solução da homogênea é:

y h = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 s e n ( 2 t )

Guardamos essa solução!

Passo 3

Agora a particular!

A equação diferencial particular associada é:

y ' ' + 4 y = - 2

Como na nossa homogênea não tem solução constante, podemos supor uma solução do tipo y p = A para a particular.

Agora pra saber quem é o coeficiente A , vamos derivar essa y p e substituir na equação diferencial (completinha, com a função do outro lado e tudo):

y p = A

Agora derivando uma vez:

y p ' = 0

y p ' ' = 0

Substituindo na equação diferencial completa:

y ' ' + 4 y = - 2

0 + 4 A = - 2

A = - 1 2

Aí nossa solução particular é:

y p = - 1 2

Passo 4

A solução geral da nossa equação diferencial vai ser a soma da solução da homogênea com a particular.

Juntando essa solução particular com a homogênea do passo 2 temos:

y = y h + y p

y ( x ) = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 s e n ( 2 t ) - 1 2

E o passo final é determinar aquelas constantes ali. Para isso vamos usar as condições iniciais dadas

y π 8 = 1 2 ,   y ' π 8 = 2

Usando a y π 8 = 1 2 :

y 0 = c 1 cos ⁡ π 4 + c 2 s e n π 4 = 1 2

c 1 + c 2 2 2 - 1 2   = 1 2

c 1 + c 2 2 2 = 1

c 1 + c 2 = 2 2 = 2

E agora derivando a solução para poder usar a segunda condição inicial:

y ' = - 2 c 1 s e n 2 t + 2 c 2 c o s ⁡ ( 2 t )

E agora aplicando y ' π 8 = 2 :

y ' 2 = - 2 c 1 + 2 c 2 = 2

- c 1 + c 2 2 = 2

- c 1 + c 2 = 2 2 = 2

Aí ficamos com duas equações para as constantes:

c 1 + c 2 = 2 - c 1 + c 2 = 2

Somando essas duas conseguimos eliminar a c 1 :

2 c 2 = 2 2

c 2 = 2

E agora de qualquer uma das equações podemos achar c 1 :

c 1 + c 2 = 2

c 1 = 2 - c 2 = 2 - 2 = 0

Passo 5

E agora nossa solução está bem determinada:

y ( x ) = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 s e n ( 2 t ) - 1 2

Com c 1 = 0 e c 2 = 2 :

y x = 2 s e n ( 2 t ) - 1 2

E a alternativa que nos diz isso é a (c). Show!

Espero ter ajudado!

Resposta

( c )

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