UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 6 – Questão 10
A solução do problema de valor inicial ,
É:
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
Vamos primeiro identificar a equação característica da EDO homogênea associada! E equação homogênea é quando temos zero do outro lado da igualdade.
A EDO
Colocando zero do lado direito temos:
Essa é a equação diferencial homogênea associada. Ela tem coeficientes constantes, então vamos supor uma solução do tipo exponencial.
Supondo uma solução geral do tipo exponencial temos:
As derivadas primeira e segundas:
E agora precisamos substituir na EDO:
Podemos dividir tudo por e ficamos com a famosa equação característica:
As soluções dessa equação vão nos dizer quais tipos de soluções vamos ter para a EDO homogênea. Sabendo essas soluções, podemos analisar a EDO não homogênea e assim dizer se as soluções vão ser LI ou LD. Sempre que elas forem parecidas (mesmo seno/cosseno, mesma exponencial, mesmo tipo de solução...) precisamos retirar essa dependência linear para garantir que o espaço das soluções seja todo contemplado.
Para retirar essa dependência linear basta multiplicar o núcleo da solução (a função que se repete) por um polinômio qualquer. Mas vamos ver isso mais para a frente. Primeiro precisamos resolver a equação característica.
Passo 2
E a equação característica
Agora para achar as raízes vamos usar bháskara:
Essas raízes são do tipo então temos que as soluções são:
Como e
Então a solução da homogênea é:
Guardamos essa solução!
Passo 3
Agora a particular!
A equação diferencial particular associada é:
Como na nossa homogênea não tem solução constante, podemos supor uma solução do tipo para a particular.
Agora pra saber quem é o coeficiente , vamos derivar essa e substituir na equação diferencial (completinha, com a função do outro lado e tudo):
Agora derivando uma vez:
Substituindo na equação diferencial completa:
Aí nossa solução particular é:
Passo 4
A solução geral da nossa equação diferencial vai ser a soma da solução da homogênea com a particular.
Juntando essa solução particular com a homogênea do passo 2 temos:
E o passo final é determinar aquelas constantes ali. Para isso vamos usar as condições iniciais dadas
Usando a :
E agora derivando a solução para poder usar a segunda condição inicial:
E agora aplicando :
Aí ficamos com duas equações para as constantes:
Somando essas duas conseguimos eliminar a :
E agora de qualquer uma das equações podemos achar :
Passo 5
E agora nossa solução está bem determinada:
Com e :
E a alternativa que nos diz isso é a (c). Show!
Espero ter ajudado!