UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 5 – Questão 12
A solução geral do problema de valor inicial
É , onde
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
Temos uma equação diferencial, linear de ordem dois com coeficientes constantes: então vamos supor uma solução do tipo:
E aí a derivada primeira e segunda são:
E pra sabermos quais valores de solucionam essa equação (que são os valores de e na solução do enunciado) vamos substituir essas expressões na equação diferencial:
E como para termos solução não trivial e para qualquer , então podemos dividir toda essa equação por e ficamos com a equação característica:
Beleza? Agora precisamos achar as soluções dessa equação.
Passo 2
E agora podemos aplicar Bhaskara para achar as raízes:
E daqui saem as duas raízes:
Como temos duas raízes iguais, a solução fica:
Agora precisamos determinar os coeficientes! Precisamos das condições iniciais =)
Passo 3
O problema nos diz que:
Então vamos aplicar essas condições na função solução e na derivada dela:
E na derivada:
E em
Daí temos o seguinte sistema:
Já temos , agora usando a (2) vamos achar :
Pronto! Agora já sabemos as constantes!
E o resumo das respostas é:
Então é isso pessoal! Terminamos!