UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 6 – Questão 19
Seja uma solução particular da equação Seja uma solução particular da equação homogênea associada à (1). Então, é solução de (1).
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
Para uma função ser solução particular de uma equação diferencial, ela deve satisfazer essa equação diferencial. Isso significa que, ao derivarmos essa função e substituirmos na equação diferencial completa (com uma função no lado direito da igualdade) isso será uma verdade matemática.
Então se é solução particular, então, da equação diferencial dada:
Derivando e substituindo temos
Seja qual for a expressão de , a função tem que satisfazer essa equação.
Passo 2
Isso se aplica também a uma solução de uma equação diferencial homogênea. Mas aqui temos um detalhe: o lado direito da equação, que antes tinha um , agora tem ! Uma equação diferencial homogênea associada a uma equação diferencial é aquela que é igual do lado esquerdo, com as mesmas funções e , mas no lado direito temos um .
No nosso caso a equação diferencial tem a forma:
E fazendo o lado direito ser igual a zero, temos a equação diferencial homogênea associada:
Beleza?
Então se é solução da equação diferencial homogênea associada, então temos que essa função deve satisfazer a equação homogênea associada:
Passo 3
O problema pergunta se é solução para a equação diferencial
Bom, como já comentei, mas não custa nada relembrar, para uma função (ou combinação e funções) ser solução de uma equação diferencial, ela deve satisfazer a equação diferencial. Isto é: pegar essa candidata a solução, derivar (quantas vezes forem preciso, aqui serão necessárias até a derivada segunda) e substituir tudo na equação diferencial se encontrarmos uma igualdade matemática (tipo ), então essa candidata é solução da equação diferencial!
Então é isso que vou fazer a seguir: verificar se a candidata é solução da equação .
Passo 4
Nossa candidata é:
Agora precisamos derivar isso, duas vezes!
Você viu em cálculo 1 que a derivada da diferença é a diferença da derivada:
E isso serve para a derivada segunda também!
Certo?
Agora vou substituir isso na equação diferencial:
Tranquilo?
Passo 5
Agora vou reorganizar esses termos da seguinte forma: agrupando tudo que for em (e suas derivadas) e tudo que for em (e suas derivadas também):
E agora vamos voltar lá para o passo 1: o nosso problema começou dizendo que era solução da equação diferencial dada, então concluímos que
Era verdade, certo?
E o problema também falou que era solução da equação diferencial da homogênea associada, então concluímos isso aqui também (lá do passo 2):
Sendo assim, podemos usar essas igualdades na nossa equação “” do início do passo , saca só:
Olha só! Encontramos uma verdade matemática! Isso quer dizer que a nossa candidata a solução (que é a diferença de outras duas soluções)
É solução da nossa equação diferencial!
Sendo assim, a afirmativa está correta.
E a opção certa é: verdadeiro
Até a próxima!