Determine a solução geral das EDO’s homogêneas:

a) y''' + 2y'' = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO homogênea de terceira ordem e pediu pra gente encontrar a solução geral dela. Beleza, mas como a gente resolve isso?

Galera, os métodos de resolução para EDO’s de segunda ordem também podem ser estendidos pra EDO’s de ordem mais alta. Então, o esquema de resolução é o mesmo: a gente vai montar uma equação característica para a EDO, calcular suas raízes e analisar cada caso.

Se nós tivermos raízes reais e distintas, nossa solução tem a forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + c 3 e r 3 x

Se nossas raízes forem reais e iguais, vamos ter uma solução da forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 x e r 2 x + c 3 e r 3 x

E, por fim, se as raízes forem complexas com r = α ± β i , temos uma solução da forma:

y x = e α x c 1 cos ⁡ ( β x ) + c 2 sin ⁡ ( β x ) + c 3

Vamos ver em qual dos três caso se encaixa nossa EDO.

Vamos lá!

Passo 2

Para a nossa EDO:

y ' ' ' + 2 y ' ' = 0

Temos a equação característica:

r 3 + 2 r 2 = 0

Colocando r 2 em evidência, temos:

r 2 r + 2 = 0

Repare que pra esse produto ser verdadeiro r 2 = 0 ou r + 2 = 0 . A partir dessas condições, nós conseguimos determinar nossas raízes:

r + 2 = 0 → r = - 2

r 2 = 0 → r 2 = r 3 = 0

r 2 r - 2 - r - 2 = 0

Então, nossas raízes são r 1 = - 2 , r 2 = 0 e r 3 = 0 . Então, nós temos três raízes reais, uma distinta, que nos dá uma solução da forma c 1 e r 1 x , e duas iguais, que nos dão uma equação da forma:

y x = c 2 e r 2 x + c 3 x e r 3 x

Juntando tudo, nós temos nossa solução geral:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + c 3 x e r 3 x

Substituindo nossas raízes:

y x = c 1 e - 2 x + c 2 + c 3 x

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y x = c 1 e - 2 x + c 2 + c 3 x

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