UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 6 – Questão 17
Assinale qual dos seguintes pares de funções são soluções da equação homogênea associada à equação .
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema deu uma equação diferencial
E mandou assinalar qual dos pares de funções dadas são soluções da equação HOMOGÊNEA ASSOCIADA.
Vamos primeiro ver quem é essa equação homogênea: achamos a equação homogênea quando colocamos zero do lado direito da equação diferencial!
No nosso caso fica assim:
Isso mesmo! Sumimos com aquele feioso!
E agora precisamos descobrir qual par de funções e são soluções pra essa equação. Uma função vai ser solução de uma equação diferencial quando substituirmos a candidata (e suas respectivas derivadas) e acharmos uma igualdade matemática.
E como fazemos isso?
Bom, para descobrir isso é bem tranquilo: como falei ali em cima, uma solução de uma equação diferencial é aquela função que satisfaz essa equação diferencial. Ou seja, se a gente substituir a solução onde tem na equação, a derivada dela na equação e a derivada segunda também na equação, e der uma igualdade matemática (tipo ou número número), então essa função é sim solução da equação diferencial.
Então é chute mesmo! É ir testando cada uma das duplas de funções dadas até achar a alternativa na qual as duas funções dadas são soluções.
Passo 2
Vamos começar testando o primeiro par:
Como temos uma dupla, cada função deve satisfazer a equação separadamente. Para que esse par seja o escolhido, as duas funções e precisam ser solução, ou seja, quando derivarmos e substituirmos, precisamos que as duas nos forneçam uma igualdade matemática.
Começando pela
A função:
A primeira derivada:
E a segunda derivada:
A equação é
Agora é só substituir:
Parece feio, mas vamos multiplicando os termos aos poucos e vendo o que dá para ir simplificando (lembrando que , vai ser útil daqui a pouco!):
Agora multiplicando as potências de :
E agora reagrupando em termos dos senos e cossenos temos o seguinte:
Do colchete junto do cosseno vemos que , o que é ótimo, pois já eliminamos uma parte.
Agora vamos dar uma olhada com carinho a parte do seno. Pegando apenas os termos com :
Oba!
E agora os termos com :
Beleza! Então o colchete que multiplica o também é zero!
Assim temos:
Oba! Encontramos uma igualdade matemática!
a função é solução da equação diferencial! Se ela não fosse, a gente encontraria algo do tipo:
Ou ainda
Se a gente encontrasse qualquer coisa assim, a função não seria solução.
Mas no nosso caso é sim solução e tá tudo certo até agora.
Precisamos testar a outra parte da dupla, a .
Passo 3
Agora a
Aqui vamos repetir o processo: derivar duas vezes e substituir na equação diferencial e verificar se é solução também.
A candidata a solução:
A derivada primeira
E a segunda
E substituindo na equação diferencial
Fazendo as multiplicações das potências de :
E por fim agrupando os termos com senos e cossenos:
O colchete que multiplica o dá zero.
Agora vamos ver o que multiplica do cosseno. Primeiro o termo com :
E agora com :
A soma dos termos dos colchetes dá zero, então temos:
Uhu! Encontramos de novo outra igualdade matemática! Portanto as duas soluções dadas na letra (a) são soluções dessa equação diferencial!
Você pode fazer como exercício testar as outras e verificar que não são soluções =)
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!