Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Assinale qual dos seguintes pares de funções são soluções da equação homogênea associada à equação x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 0,25 y = 3 x 3 2 ,   x > 0 .

  1. y 1 x = x - 1 2 s e n x ,   y 2 x = x - 1 2 c o s ⁡ ( x )
  2. y 1 x = x   s e n x ,   y 2 x = x c o s ( x )
  3. y 1 x = x 1 2 s e n ( x ) ,   y 2 x = x 1 2 c o s ⁡ ( x )

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema deu uma equação diferencial

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 0,25 y = 3 x 3 2

E mandou assinalar qual dos pares de funções dadas são soluções da equação HOMOGÊNEA ASSOCIADA.

Vamos primeiro ver quem é essa equação homogênea: achamos a equação homogênea quando colocamos zero do lado direito da equação diferencial!

No nosso caso fica assim:

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 0,25 y = 0

Isso mesmo! Sumimos com aquele 3 x 3 2 feioso!

E agora precisamos descobrir qual par de funções y 1 e y 2 são soluções pra essa equação. Uma função vai ser solução de uma equação diferencial quando substituirmos a candidata (e suas respectivas derivadas) e acharmos uma igualdade matemática.

E como fazemos isso?

Bom, para descobrir isso é bem tranquilo: como falei ali em cima, uma solução de uma equação diferencial é aquela função que satisfaz essa equação diferencial. Ou seja, se a gente substituir a solução y onde tem y na equação, a derivada dela y '   na equação e a derivada segunda y ' ' também na equação, e der uma igualdade matemática (tipo 0 = 0 ou número =   número), então essa função é sim solução da equação diferencial.

Então é chute mesmo! É ir testando cada uma das duplas de funções dadas até achar a alternativa na qual as duas funções dadas são soluções.

Passo 2

Vamos começar testando o primeiro par:

y 1 x = x - 1 2 s e n x ,   y 2 x = x - 1 2 c o s ⁡ ( x )

Como temos uma dupla, cada função deve satisfazer a equação separadamente. Para que esse par seja o escolhido, as duas funções y 1 e y 2 precisam ser solução, ou seja, quando derivarmos e substituirmos, precisamos que as duas nos forneçam uma igualdade matemática.

Começando pela y 1 = x - 1 2 s e n x

A função:

y = x - 1 2 s e n x

A primeira derivada:

y ' = - 1 2 x - 3 2 s e n x + x - 1 2 c o s ⁡ ( x )

E a segunda derivada:

y ' ' = 3 4 x - 5 2 s e n x - 1 2 x - 3 2 cos ⁡ x - 1 2 x - 3 2 cos ⁡ x - x - 1 2 s e n ( x )

y ' ' = - 1 4 x - 5 2 s e n x - x - 3 2 cos ⁡ x - x - 1 2 s e n ( x )

A equação é

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 0,25 y = 0

Agora é só substituir:

x 2 . 3 4 x - 5 2 s e n x - x - 3 2 cos ⁡ x - x - 1 2 s e n ( x ) + x . - 1 2 x - 3 2 s e n x + x - 1 2 cos ⁡ x + x 2 - 0,25 . x - 1 2 s e n x = 0

Parece feio, mas vamos multiplicando os termos aos poucos e vendo o que dá para ir simplificando (lembrando que 1 4 = 0,25 , vai ser útil daqui a pouco!):

3 4 x 2 x - 5 2 s e n x - x 2 x - 3 2 cos ⁡ x - x 2 x - 1 2 s e n x - 1 2 x x - 3 2 s e n x + x x - 1 2 cos ⁡ x + x 2 x - 1 2 s e n x - 1 4 x - 1 2 s e n x = 0

Agora multiplicando as potências de x :

3 4 x - 1 2 s e n x - x 1 2 cos ⁡ x - x 3 2 s e n x - 1 2 x - 1 2 s e n x + x 1 2 cos ⁡ x + x 3 2 s e n ( x )

E agora reagrupando em termos dos senos e cossenos temos o seguinte:

cos ⁡ x - x 1 2 + x 1 2 + s e n x 3 4 x - 1 2 - x 3 2 - 1 2 x - 1 2 + x 3 2 - 1 4 x - 1 2

Do colchete junto do cosseno vemos que - x 1 2 + x 1 2 = 0 , o que é ótimo, pois já eliminamos uma parte.

Agora vamos dar uma olhada com carinho a parte do seno. Pegando apenas os termos com x - 1 2 :

3 4 x - 1 2 - 1 2 x - 1 2 - 1 4 x - 1 2 = x - 1 2 3 4 - 1 2 - 1 4 = x - 1 2 3 - 2 - 1 4 = 0

Oba!

E agora os termos com x 3 2 :

- x 3 2 + x 3 2 = 0

Beleza! Então o colchete que multiplica o s e n ( x ) também é zero!

Assim temos:

cos ⁡ x 0 + s e n x 0 = 0

0 = 0

Oba! Encontramos uma igualdade matemática!

a função y 1 = x - 1 2 s e n x é solução da equação diferencial! Se ela não fosse, a gente encontraria algo do tipo:

- 2 = 0

Ou ainda

x - 3 = 0

Se a gente encontrasse qualquer coisa assim, a função não seria solução.

Mas no nosso caso y 1 = x - 1 2 s e n x é sim solução e tá tudo certo até agora.

Precisamos testar a outra parte da dupla, a y 2 .

Passo 3

Agora a y 2 = x - 1 2 c o s ⁡ ( x )

Aqui vamos repetir o processo: derivar duas vezes e substituir na equação diferencial e verificar se é solução também.

A candidata a solução:

y = x - 1 2 c o s ⁡ ( x )

A derivada primeira

y ' = - 1 2 x - 3 2 c o s x - x - 1 2 s e n ⁡ ( x )

E a segunda

y ' ' = 3 4 x - 5 2 cos ⁡ x + 1 2 x - 3 2 s e n x + 1 2 x - 3 2 s e n x - x - 1 2 cos ⁡ x

y ' ' = 3 4 x - 5 2 cos ⁡ x + x - 3 2 s e n x - x - 1 2 cos ⁡ x

E substituindo na equação diferencial

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 0,25 y = 0

x 2 3 4 x - 5 2 cos ⁡ x + x - 3 2 s e n x - x - 1 2 cos ⁡ x + x - 1 2 x - 3 2 c o s x - x - 1 2 sen ⁡ x + x 2 - 0,25 . x - 1 2 cos ⁡ x = 0

Fazendo as multiplicações das potências de x :

3 4 x - 1 2 cos ⁡ x + x 1 2 s e n x - x 3 2 cos ⁡ x - 1 2 x - 1 2 cos ⁡ x - x 1 2 s e n x + x 3 2 cos ⁡ x - 1 4 x - 1 2 cos ⁡ x = 0

E por fim agrupando os termos com senos e cossenos:

cos ⁡ x 3 4 x - 1 2 - x 3 2 - 1 2 x - 1 2 + x 3 2 - 1 4 x - 1 2 + s e n x + x 1 2 - x 1 2 = 0

O colchete que multiplica o s e n ( x ) dá zero.

Agora vamos ver o que multiplica do cosseno. Primeiro o termo com x - 1 2 :

x - 1 2 3 4 - 1 2 - 1 4 = 0

E agora com x 3 2 :

x 3 2 - 1 + 1 = 0

A soma dos termos dos colchetes dá zero, então temos:

cos ⁡ x 0 + s e n x 0 = 0

0 = 0

Uhu! Encontramos de novo outra igualdade matemática! Portanto as duas soluções dadas na letra (a) são soluções dessa equação diferencial!

Você pode fazer como exercício testar as outras e verificar que não são soluções =)

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

( a )

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