UTFPR, Ponta Grossa, Equações Diferenciais Ordinárias, Listas EDO 2 Ordem e Ordem Superior - Segunda Lista de Exercícios, Questão 2d
Resolva as EDO de ordem maior a seguir
Passo 1
Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de EDO. Dessa vez temos que resolver EDO´S de ordem maior. E aí? Lembram como resolvemos esse tipo de problema?
Vamos fazer uma revisão!!!!
Vamos supor que temos uma EDO de segunda ordem homogênea. Isso é, da seguinte forma:
onde
A primeira coisa que fazemos é encontrar o polinômio característico e, depois, suas raízes.
O polinômio é super simples de construir, basta pegarmos os coeficientes da EDO homogênea e ir plugando as potências do polinômio. Na prática fica assim.
Ou seja, as potências dos polinômios ficam com os coeficientes das derivadas de mesma ordem. Isto é, potência com n-ésima derivada, e assim por diante.
Agora achamos as raízes. E o que fazemos depois de encontrar as raízes? Bem, para cada raiz real distinta teremos uma solução geral da forma
com
Se tivermos raízes iguais, , teremos uma solução da forma
com
Se tivermos raízes complexas (lembrando que elas sempre vêm aos pares), então uma solução da EDO homogênea é:
com
E como será a solução geral? Será a soma de todas essas soluções que obtemos. Bacana, né?
Deu para revisar? Show!!!!
MAS PERA AE!!!!! NÓS QUEREMOS A SOLUÇÃO DE
E essa não é uma EDO homogênea. Então o que fazemos??? Ora é bem simples. Primeiro calculamos a solução da EDO homogênea e depois somamos com uma solução particular da nossa EDO. E adivinha como encontramos a solução particular, muitas vezes é na base do chute mesmo. kkkkkk
Então vamos nessa!!!!
Passo 2
Vamos resolver nossa EDO
Vamos calcular o polinômio característico. Pela nossa revisão ele é
Vamos obter suas raízes.
Ou seja, suas raízes são:
Então temos raízes distintas. E para cada uma delas temos uma solução, mas como a solução geral é a soma destas, iremos fazer isso em um passo só. Logo, utilizando a nossa revisão, a solução homogênea da EDO é:
como as raízes são , então ,, (lembrando que a ordem não importa). Substituindo, temos
Mas essa é a nossa solução da EDO homogênea. Precisamos agora de uma solução particular para
E aí? Vamos chutar algo bem simples. Vamos ver se é uma solução particular. Substituindo na EDO
Ora mas
Olha só!!!Achamos uma solução particular. Que é
Então a solução geral é a da equação homogênea mais a particular. Que nesse caso é:
Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de EDO, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!