UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Cálculo 2 - Avaliação EDO Alta Ordem 2020.2, Questão 1h
Determine a solução geral das EDO’s homogêneas:
h)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma EDO homogênea de quarta ordem e pediu pra gente encontrar a solução geral dela. Beleza, mas como a gente resolve isso?
Galera, os métodos de resolução para EDO’s de segunda ordem também podem ser estendidos pra EDO’s de ordem mais alta. Então, o esquema de resolução é o mesmo: a gente vai montar uma equação característica para a EDO, calcular suas raízes e analisar cada caso.
Se nós tivermos raízes reais e distintas, nossa solução tem a forma:
Se nossas raízes forem reais e iguais, vamos ter uma solução da forma:
E, por fim, se as raízes forem complexas com , temos uma solução da forma:
Vamos ver em qual dos três caso se encaixa nossa EDO.
Vamos lá!
Passo 2
Para a nossa EDO:
Temos a equação característica:
Vamos tentar fatorar essa equação pra descobrir suas raízes. Vamos começar agrupando os termos:
Fatorando a equação , temos:
Colocando em evidência:
Fatorando agora :
Pra que esse produto seja igual a zero, cada termo precisa ser igual a zero. Então:
Pra encontrar os zeros da equação do segundo grau, vamos usar Bhaskara:
Logo,
Passo 3
Repare que nós temos duas raízes reais e , que nos dão uma solução da forma:
E duas raízes complexas, e , que nos dão a solução da forma:
Com .
Juntando tudo, nós temos nossa solução geral:
Substituindo as raízes:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉