Determine a solução geral das EDO’s homogêneas:

b) y''' - 2y'' - y' + 2y = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO homogênea de terceira ordem e pediu pra gente encontrar a solução geral dela. Beleza, mas como a gente resolve isso?

Galera, os métodos de resolução para EDO’s de segunda ordem também podem ser estendidos pra EDO’s de ordem mais alta. Então, o esquema de resolução é o mesmo: a gente vai montar uma equação característica para a EDO, calcular suas raízes e analisar cada caso.

Se nós tivermos raízes reais e distintas, nossa solução tem a forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + c 3 e r 3 x

Se nossas raízes forem reais e iguais, vamos ter uma solução da forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 x e r 2 x + c 3 e r 3 x

E, por fim, se as raízes forem complexas com r = α ± β i , temos uma solução da forma:

y x = e α x c 1 cos ⁡ ( β x ) + c 2 sin ⁡ ( β x ) + c 3

Vamos ver em qual dos três caso se encaixa nossa EDO.

Vamos lá!

Passo 2

Para a nossa EDO:

y ' ' ' - 2 y ' ' - y ' + 2 y = 0

Temos a equação característica:

r 3 - 2 r 2 - r + 2 = 0

Vamos agrupar os termos pra ficar mais fácil calcular as raízes:

r 2 r - 2 - r - 2 = 0

Vamos colocar o termo comum em evidência:

r - 2 r 2 - 1 = 0

Pra que esse produto seja verdadeiro r - 2 = 0 ou r 2 - 1 = 0 . Dessa forma, temos:

r - 2 = 0 → r = 2

r 2 - 1 = 0 → r = ± 1 → r = ± 1

Então, nossas raízes são r 1 = 2 , r 2 = - 1 e r 3 = 1 . São raízes reais e distintas, certo? Então nossa solução é da forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + c 3 e r 3 x

Substituindo os valores de r 1 , r 2 e r 3 , temos:

y x = c 1 e 2 x + c 2 e - x + c 3 e x

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y x = c 1 e 2 x + c 2 e - x + c 3 e x

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