Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Passo 1

Precisamos resolver essa EDO

y ' ' ' - 5 y ' ' + 3 y ' + 9 y = 0

Se colocarmos na forma da equação característica

r 3 - 5 r 2 + 3 r + 9 = 0

Se de cara procurarmos algumas possíveis raízes (dica: pode tentar 1   e - 1 , inicialmente), encontramos que uma delas é:

r = - 1

Passo 2

A próxima coisa a fazer para encontrar as outras raízes, e diminuir o grau da nossa equação, usando o método de Briot-Ruffini. Tá lembrado?

r 3 - 5 r 2 + 3 r + 9 = 0

A primeira coisa a fazer é escrever essa equação completa, colocando 0 vezes o r elevado aos graus que não aparecem, neste caso a equação já está completa.

Agora montamos o seguinte quadrinho

No canto superior esquerdo colocamos os coeficientes da nossa equação, no canto superior direito colocamos o valor na nossa raiz.

Agora nós fazemos os seguintes passos. Primeiro descemos o primeiro coeficiente, que vai ficar

O próximo passo é multiplicar esse número que baixamos pelo número ali no canto superior direito, e depois somar com o próximo coeficiente.

Nesse caso fazemos

1 . - 1 + - 5 = - 6

Esse primeiro 1 é o coeficiente, o - 1 é nossa raiz ali no canto esquerdo, e aquele - 5 é o próximo coeficiente.

Vamos achar - 6 , colocamos esse valor embaixo do coeficiente - 5 , ficando

Deu para dar uma lembrada de Briot-Rufini né? Repetindo isso até terminar o método, vamos ficar com

Então nossa equação reduzida fica

r 2 - 6 r + 9 = 0

Passo 3

Entrando as raízes dessa nova equação

r 2 - 6 r + 9 = 0

∆ = 36 - 36 = 0

Ficamos com uma raiz dupla

r = 3

Passo 4

Por fim, precisamos encontrar a solução relacionada a cada uma das raízes que determinamos.

r = - 1 ;         y = C 1 e - x

Atenção! Viu que temos uma raiz dupla. Não esquece que precisamos considerar isso na solução e multiplicar um dos termos por x . Vamos ficar com

r = 3 ;       y = C 2 e 3 x + C 3 x e 3 x

Então a solução geral será:

y x = C 1 e - x + C 2 e 3 x + C 3 x e 3 x

Resposta

y x = C 1 e - x + C 2 e 3 x + C 3 x e 3 x

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