Um bloco é lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial , atinge uma altura máxima e retorna ao ponto do lançamento, percorrendo uma distância total de .

a) Desprezando qualquer interação dissipativa entre o ar e o bloco, calcule em termos de e a aceleração da gravidade ;

b) Esboce um gráfico da energia potencial gravitacional e da energia cinética como função da distância percorrida entre e ;

c) Repita o item anterior de forma qualitativa, considerando agora que há uma interação dissipativa entre o ar e o bloco (nesse caso a altura máxima alcançada é menor que ). Inclua também no seu gráfico a energia térmica e energia de fonte do sistema Terra + bloco + ar.

(a) Nosso primeiro item sugere que um bloco que sobe até a altura e depois cai até atingir o chão, de onde partiu inicialmente.

Vamos tomar que nossas condições iniciais são e , assim teremos que

Entretanto vamos supor agora que o bloco subiu até o topo, parou em e vai iniciar sua queda, desta forma temos

Implicando que o tempo de subiu ou descida será de

desta forma teremos que pela primeira equação que encontramos que

Melhorando um pouco a cara desse bixo aí em cima, teremos

E agora mexe aqui .. mexe alí hahaha ... vamos ajeitamos pouco a pouco para chegar em nosso objetivo

Dividimos ambos os lados por

E chegamos em nosso resultado. Mas será que não tem uma forma mais fácil e rápida de chegarmos em nosso resultado? Talvez usando um carinha chamado Torricelli?

Na qual

Talvez de o resultado que queremos...

Tome que quando o bloco chega ao topo, sua velocidade é nula. Então teremos que

Que é o mesmo resultado que chegamos pela relação da equação de posição de função do tempo pra subida e descida.

(b) A energia potencial pode ser descrita por

Enquanto a energia cinética

Plotando nosso gráfico da energia potencial pela distância percorrida pelo bloco, teremos que

E com relação a energia cinética precisamos determinar a relação da velocidade com a posição. Assim tome do passo que quando o bloco está caindo

Implicando que

E que

Desta forma teremos que

Assim teremos o temos quadrático indica que teremos uma parábola de concavidade para cima. As raízes serão dadas em

Que pode ser resumida em

Então o que temos que em seu ponto mais alto, a energia cinética é nula (já esperávamos por isso né).

(c) Para a energia potencial, perceba que não teremos uma alteração na cara que o gráfico terá.

A diferença com relação a primeira hipótese é que agora o bloco não chega a uma altura , mas sim a uma altura , tendo sua energia potencial máxima em .

Com relação a energia cinética, temos que ela até pode ser a mesma no inicio, mas com a resistência do ar, ela se perde por causa da resistência. Resistência essa que leva o nosso bloco a esquentar em certos momentos. Assim temos que a energia térmica se relaciona com a velocidade do bloco.