Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Calcule:

∫ 0 2 ∫ 0 x ∫ 0 y - x 2 y - x   d z   d y   d x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos encontrar o resultado da integral tripla

∫ 0 2 ∫ 0 x ∫ 0 y - x 2 y - x   d z   d y   d x

Uma forma de resolver é fazendo uma integral por uma, ou seja... vamos começar pela d z , depois a d y e, por fim a d x .

Não entendeu? Vamos juntos!!

Passo 2

Bom... resolvendo a primeira integral, temos:

∫ 0 2 ∫ 0 x ∫ 0 y - x 2 y - x   d z   d y   d x = ∫ 0 2 ∫ 0 x y - x 2 y - x   d y   d x

Passo 3

Resolvendo a segunda integral, temos:

∫ 0 2 ∫ 0 x y - x 2 y - x   d y   d x = ∫ 0 2 ∫ 0 x 2 y 2 - 3 x y + x 2   d y   d x ∴

∫ 0 2 ∫ 0 x y - x 2 y - x   d y   d x = ∫ 0 2 2 x 3 3 - 3 x 3 2 + x 3 d x

Passo 4

Agora, resolvendo a terceira:

∫ 0 2 2 x 3 3 - 3 x 3 2 + x 3 d x = x 4 24 2 0 ∴

∫ 0 2 2 x 3 3 - 3 x 3 2 + x 3 d x = 2 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ 0 2 ∫ 0 x ∫ 0 y - x 2 y - x   d z   d y   d x = 2 3

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