A integral que expressa o cálculo da massa do sólido limitado pelos planos x = 0 , y = 0 ,   z = 0   e   2 x + 2 y + z = 2 de densidade δ x , y , z = x 2 é:

Passo 1

É legal começarmos observando essas superfícies que estamos trabalhando.

Primeiro, pra identificarmos onde o z está variando, que seria da base (plano x y ), até bater no plano azul. Isolamos ele.

2 x + 2 y + z = 2

z = 2 - 2 x - 2 y

Entçao, logo de cara já temos que o z varia entre 0 (passado pelo encunciado) e 2 - 2 x - 2 y .

Passo 2

Para identificarmos agora a variação de y , devemos observar a projeção no plano x y ,   ou seja, justamente quando temos z = 0 .

2 x + 2 y + z = 2

z = 0 → 2 x + 2 y + 0 = 2

2 x + 2 y = 2

x + y = 1

Isolando então o x .

x = 1 - y

Já quanto a   y , observa que o máximo que ele assume é 1. Ou seja

0 ≤ y ≤ 1

Passo 3

Juntando tudo oque temos então já conseguimos montar a integral, e ficamos então com:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - y ∫ 0 2 - 2 x - 2 y δ x , y , z   d z d x d y

∫ 0 1 ∫ 0 1 - y ∫ 0 2 - 2 x - 2 y x 2   d z d x d y

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 1 - y ∫ 0 2 - 2 x - 2 y x 2   d z d x d y

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