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Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

UFMG – Cálculo 3 – Lista 1 – Questão 14

Calcule a integral

∭ E z d V

Em que E é o sólido limitado acima pelo plano z = 2 e acima pelo paraboloide z = 6 - x 2 - y 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa integral iterada

∭ E z d V

Nossa região é

z = 2   l i m i t a d o   a c i m a   p e l o   p l a n o

z = 6 - x 2 - y 2 ( l i m i t a d o   a b a i x o   p e l o   p a r a b o l o i d e )

Mas não nos deu em que coordenadas fazer: então podemos escolher!

Como temos x 2 + y 2 e z é linear, vamos escolher: coordenadas cilíndricas

Beleza?

A função que está acima é o paraboloide (esse será nosso limite superior), já por baixo temos o plano (nosso limite inferior em z ). Já em r temos que vai de r = 0 (no bico do paraboloide) até z = 2 :

2 = 6 - x 2 - y 2 → x 2 + y 2 = 4

r 2 = 4 → r = 2

Então

0 < r < 2

E o θ ? Faz a volta completa!

0 < θ < 2 π

Em coordenadas cilíndricas nossos limites ficam

2 < z < 6 - r 2

0 < r < 2

0 < θ < 2 π

não vamos esquecer de trocar as variáveis do integrando também!

d V = r   d z   d r   d θ

Agora precisamos montar a integral e partiu calcular!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A integral que precisamos resolver é essa

∭ E z d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 2 6 - r 2 z   r   d z   d r   d θ

Tranquilo? Bora resolver?

Primeiro em z :

∫ 0 2 π ∫ 0 2 r z 2 2 2 6 - r 2 d r   d θ = 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 6 - r 2 2 - 4   d r   d θ

= 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 32 r - 12 r 3 + r 5 d r   d θ

Beleza?

Passo 3

Agora vamos resolver em r :

1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 32 r - 12 r 3 + r 5 d r   d θ

1 2 ∫ 0 2 π 32 r 2 2 - 12 r 4 4 + r 6 6 0 2 d θ = 1 2 64 - 48 + 64 6 ∫ 0 2 π d θ

Tudo bem? E por fim integrar em θ :

= 1 2 16 + 32 3 . θ 0 2 π = 1 2 . 2 π . 96 + 64 6 = 160 π 6 = 80 π 3

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

80 π 3

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