Encontre o volume da região limitada pelas superfícies e .

As superfícies se encontram de forma bem confusa, vamos tentar encontrar isso algebricamente. Precisamos igualar as duas equações:

Isso que nós achamos é como se fosse uma “sombra” (no plano) da intersecção das duas superfícies! Dá uma olhada nesse desenho porque é importante que isso fique bem claro:

Essa elipse amarela está totalmente contida no plano , e é só a sombra da interseção entre as duas superfícies. A interseção em si é bem mais complicada e irregular do que isso.

Mas pra que precisamos dessa sombra? Isso é bem comum em questões desse tipo, porque todos os pontos do volume que queremos calcular estão “acima” dessa sombra. Essa região vai definir os limites de integração para o e para o !

Então tá, como achamos os limites do e do a partir dessa equação de elipse. Vamos desenhar ela no plano :

Achar os extremos do é mais fácil, basta pegar os pontos em que :

Então nosso vai variar nesse intervalo:

E para cada um desses valores de , como fica o ? Ah, agora é só isolar na equação da elipse?

E então nosso varia nesse intervalo aqui:

Beleza, agora só falta descobrir como o varia para cada um desses pares !

Vamos olhar de novo para a imagem:

Nossa integral já está ali andando em toda a região imediatamente abaixo do volume que queremos calcular. Mas agora falta dizer pra ela o seguinte: qual é a “altura” que ela tem que calcular em cada ponto !

Mas isso é tranquilo: como queremos o volume “entre” a superfície esverdeada e a superfície avermelhada, é só mandarmos a integral ir da “altura” (coordenada ) de uma até a outra!

Agora já estamos prontos para substituir tudo na integral!

Juntando tudo o que calculamos, descobrimos que o volume pode ser calculado por essa integral aqui:

Uma integral bastante feia, né? Mas é mais fácil do que parece! Começamos integrando em relação a , como não tem nada na integral:

Agora vamos integrar isso em relação a . Só pra não ficar confuso, vamos fazer a integral indefinida antes, e depois substituímos com os limites de integração:

Beleza? Agora nós vamos substituir aqueles limites nessa expressão:

Bastante confuso! Mas agora vamos poder somar os termos:

Vamos colocar o em evidência no :

E agora vamos multiplicar esse mesmo por , de forma que ele fique igual àquele termo que está na raiz!

Ok, agora podemos juntar esses termos iguais, lembrando que uma raiz quadrada é o mesmo que um expoente :

E agora resolvendo aquela diferença de frações:

E agora chegamos em uma integral mais razoável:

O próximo passo é resolvê-la!

Nós conhecemos bem a cara dessa integral:

Ela está pedindo uma substituição trigonométrica! Lembre que quando temos um termo do tipo , devemos usar a substituição , então:

E vamos trocar também os limites de integração:

Jogando isso tudo na integral (vamos simplificar as constantes de uma vez):

Vamos tirar essas constantes:

E agora podemos calcular essa constante em uma calculadora e juntar os cossenos:

Agora sim, chegamos na última integral!

Para evitar uma grande confusão, vamos simplesmente calcular essa integral indefinida:

E depois usamos esse resultado para calcular a integral que queremos. Lembra como se calcula a integral quando temos uma potência par do cosseno?

E agora aplicamos a integral por partes. A fórmula (que normalmente se usa) é essa aqui:

Aplicando isso no nosso caso com , isso quer dizer que:

Então:

E vamos precisar usar uma identidade trigonométrica para resolver a integral da direita:

Assim:

Agora sim, sabemos resolver aquela integral da direita:

E finalmente:

Agora o último passo (prometo):

Já sabemos calcular essa integral, vamos só substituir os limites de integração e multiplicar pela constante:

Como o é zero e também:

Então:

Finalmente! Conseguimos!