Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 15 – Seção 7 – Questão 13
Calcule a integral tripla.
Onde, E está abaixo do plano e acima do plano limitada pelas curvas , e
Passo 1
Fala aí, pessoal! Vamos fazer uma integral tripla, a coisa mais normal pra um engenheiro!
Vamos começar olhando para função que temos dada no enunciado:
Beleza, ele não nos disse de cara os limites de integração, então precisamos entender qual o domínio que estamos trabalhando. O enunciado nos diz que a região do espaço está abaixo do plano:
E acima do plano :
Portanto, temos:
Agora, precisamos entender o comportamento da região no plano . O enunciado nos disse que a região está limitada pelo valor de :
E pelos valores de :
Levando em consideração esses valores, a região pode ser escrita da forma:
Portanto, a nossa integral inicial:
Pode ser reescrita com os valores dos limites de integração:
Muito cuidado na hora de colocar a ordem! O resultado deve ser um número! Então a nossa ordem vai ser primeiro integrar em para toda a integral ficar em termo de e , depois como está relacionado com , vamos integrar em e último integrar em .
Não se preocupa que pareceu confuso agora, nós vamos fazer esse passo a passo juntos!
Passo 2
Precisamos começar integrando a variável :
Como não temos nenhum valor de , todo o resto se torna uma constante multiplicando o valor de :
Substituindo os limites de integração:
Então voltando a nossa integral:
Aplicando a distributiva, estamos prontos para integrar em :
Passo 3
Agora, precisamos integrar em relação a . Logo,
Vamos pensar que todo o resto que não é são apenas constantes:
Vamos aplicar individualmente as integrais:
Voltando a nossa integral e fazendo a substituição, nós teremos:
Passo 4
Por fim, basta integrarmos em relação a :
Integrando cada elemento separadamente, nós ficamos com
Simplificando essa expressão, teremos:
Após substituirmos os valores de integração, ficamos com:
Resolvendo:
No final, nossa integral tripla tem como resultado: