- Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido limitado por:
h) , , .
Passo 1
Cara! Calculo de volume a esse altura do campeonato pra gente é uma integral tripla de :
Não temos uma boa visualização desse sólido por isso sempre é bom começar por aqui
Relaxa, pois fazer isso nada mais é do que desenhar todas essas superfícies aí ao mesmo tempo! Quando fazemos isso, a superfície que ganhamos no espaço é esta daqui, oh:
Pegou? :D
Passo 2
Não trabalhamos com esse sólido dessa forma, por isso, a ideia aqui sempre será partir para a descrição dele. Nesse caso, cabe o , onde temos o variando de uma “base” até um “teto”
o plano vermelho é , então...
Quanto ao e ao , olhemos para a projeção do sólido no plano . Bora?
Passo 3
Pow, relaxa! Projetar esse sólido nesse plano nada mais é do que olhar para o sólido
mas dessa vez, olhando de cima para baixo:
Note que podemos descrever essa região também do , onde onde o varia dessa parábola azul até
Só nos falta encontrar a variação de e perceba que ele está indo de um da parábola até o outro. Encontrar esses pontos basta resolver a equação do segundo grau
Logo
Passo 4
Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!
Lembre-se que na integral mais interna, fica a que tem mais variável, no caso o , seguido pelo e depois o :
Integrando o de dentro e substituindo os limites de integração