- Calcule , onde está situado no primeiro octante, limitado pelos planos , , e pelo cilindro
Passo 1
Bem a primeira coisa que devemos fazer aqui é tentar entender um pouco mais sobre esse sólido . E não há nada melhor pra entendê-lo do que o desenhando no espaço. Bora?
Devemos começar desenhando cada uma dessas superfícies, vamos começar aqui limitando o primeiro octante com essas superfícies lindas e .
Agora, essa superfície , desenhamos um pouco diferente. Acompanhe-me!
Passo 2
Para superfície que só dependem de duas incógnitas como , podemos sempre desenha-la no plano primeiro. No nosso caso, , note no plano nos representa uma reta e que vou desenha-la aqui pra você ohhh:
Pois bem! Agora como essa equação não depende de , o que deve ser feito é “puxar” essa reta aí em torno do eixo , saca? Então essa é a superfície:
No caso... É um plano !
Passo 3
Com relação à última superfície que compõe o sólido , nos representa um cilindro ao redor de e de raio
Juntando então todas essas superfícies podemos ver quem é esse sólido , que é esse daqui oh:
O cara que está abaixo do teto cilíndrico e delimitado pelos planos, percebeu?
Passo 4
Não trabalhamos com sólido dessa forma, por isso, a ideia aqui sempre será partir para a descrição dele. Nesse caso, cabe o , onde temos o variando de uma “base” até um “teto”
Como o cilindro vermelho é justamente , basta que isolemos o ...
como só queremos a parte de cima do cilindro...
Quanto ao e ao , olhemos para a projeção do sólido no plano . Bora?
Passo 5
Pow! Relaxa! Projetar esse sólido nesse plano nada mais é do que olhar para o sólido
mas dessa vez, de cima para baixo:
Note que essa reta em vermelho escuro ali, é justamente a reta em que o plano toca o pano , ou o , então...
Descarta o negativo!
Descrever e é apenas descrever essa região aí, que pode ser feita também utilizando a região :
- varia em um intervalo numérico:
- , entre funções:
Passo 6
Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!
Lembre-se que na integral mais interna, fica a que tem mais variável, no caso o , seguido pelo e depois o :
Começando com a integral de dentro...
substituindo os limites de integração em e simplificando um pouco...
integrando em lembrando que é tomado como uma constante...
substituindo agora os limites em , concluímos que...