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Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 3, Tarefas de C3 - Profº Juan Maldonado - 3ª Tarefa, Questão 6

Supondo que S e E satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que as funções

escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas,

Demonstre que

∬ ( f ∇ g - g ∇ f ) ) ∙ n d S = ∭ f ∇ 2 g - g ∇ 2 f d V

Passo 1

Sabemos previamente que,

∬ ( f ∇ g ) ∙ n d S = ∭ f ∇ 2 g + ∇ f ∙ ∇ g d V

Passo 2

Para Obtermos a segunda parte da integral é até simples, é só pegarmos a anterior e trocar f por g e vice-versa:

∬ g ∇ f ∙ n d S = ∭ g ∇ 2 f + ∇ g ∙ ∇ f d V

Então temos,

∬ ( f ∇ g - g ∇ f ) ∙ n d S

= ∬ f ∇ g ∙ n d S - ∬ g ∇ f ∙ n d S

= ∭ f ��� 2 g + ∇ f ∙ ∇ g d V - ∭ g ∇ 2 f + ∇ g ∙ ∇ f d V

= ∭ f ∇ 2 g + ∇ f ∙ ∇ g - g ∇ 2 f - ∇ g ∙ ∇ f d V

= ∭ f ∇ 2 g - g ∇ 2 f d V

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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