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Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Edson Figueiredo - 2ª Lista, Questão 3

Calcule a integral tripla da função f x , y , z = x 2 z , sobre o sólido limitado pelos planos z = 0 ,   z = 4 e pelo cilindro x 2 + y 2 = 9 .

Passo 1

Olá amigo, Yuri aqui e agora iremos calcula a integral tripla da função que nos foi dada. Lhe convido a primeiro o gráfico da função para que compreendas melhor o que iremos fazer.

O que temos é, inferiormente e superiormente estamos limitados pelos planos z = 0 e z = 4 , lateralmente estamos sempre limitados pelo cilindro.

Passo 2

Como estamos trabalhando com um cilindro, nada mais justo e interessante o que usar coordenadas cilíndricas para calcular a nossa integral.

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

z = z

Então temos

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

z = z

Com

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ z ≤ 4

0 ≤ r ≤ 3

E com coordenadas cilíndricas nossa função tem a cara de

( r cos ⁡ θ ) ² z

Agora é hora de montarmos nossa integral

∫ 0 2 π ∫ 0 3 ∫ 0 4 ( r cos 2 ⁡ θ ) z r d z d r d θ

Passo 3

∫ 0 2 π ∫ 0 3 ∫ 0 4 ( r cos 2 ⁡ θ ) z r d z d r d θ

8 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 2 cos 2 ⁡ θ d r d θ

8 ∙ 9 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ d θ

Para a integral de ∫ cos 2 ⁡ θ d θ temos primeiro a identidade trigonometria,

∫ 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

1 2 ∫ d θ + 1 2 ∫ cos ⁡ 2 θ d θ

1 2 θ + 1 4 sin ⁡ 2 θ

Então agora voltando para a nossa integral tripla após ele leve intervalo

8 ∙ 9 1 2 θ + 1 4 sin ⁡ 2 θ ​ 0 2 π

72 π

Resposta

72 π

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