- Calcule , onde é a região do primeiro octante, limitada por , , e .
Passo 1
Cara, em exercícios como esse, sempre vamos começar desenhando a região . Mas não se desespere porque basta seguir o enunciado do problema e ir limitando o sólido, saca?
Devemos começar desenhando cada uma dessas superfícies, vamos começar aqui essas duas mais fáceis. Veja!
- nos representa o próprio plano :
- Assim como a anterior, é o plano :
Agora, essa superfície , desenhamos um pouco diferente. Acompanhe-me!
Passo 2
Para superfície que só dependem de duas incógnitas como , podemos sempre desenha-la no plano primeiro. No nosso caso, , no plano nos representa uma reta
Pois bem! Agora como essa equação não depende de , o que deve ser feito é “puxar” essa reta aí em torno do eixo , saca? Então essa é a superfície:
No caso... É um plano !
Passo 3
Agora façamos o mesmo com essa outra superfície, ! Vamos lá! Agora pra ver se você entendeu como desenhar esse tipo de superfície, heim!
Primeiro devemos...?
desenhar a equação no plano (no caso no plano ):
Depois devemos...?
“Puxar” essa reta em torno do outro eixo (no caso aqui é o ):
E prontinho! Esse é a superfície que carinhosamente chamamos de cilindro parabólico.
Passo 4
Wooooow! Cuidado, pois ainda não terminamos de ver o sólido! Temos que colocar essas coisas juntas e lembramos que queremos o sólido apenas no primeiro octante.
Assim, o nosso sólido é...
esse cara apontado por esta seta !
Passo 5
Não trabalhamos com esse sólido dessa forma, por isso, a ideia aqui sempre será partir para a descrição dele. Nesse caso, cabe o , onde temos o variando de uma “base” até um “teto”
Como o plano vermelho é justamente o plano
Quanto ao e ao , olhemos para a projeção do sólido no plano . Bora?
Passo 6
Pow! Relaxa! Projetar esse sólido nesse plano nada mais é do que olhar para o sólido
mas dessa vez, de cima para baixo:
Ou melhor:
Onde a parábola passa por como podemos ver e ter certeza quando zeramos o na equação.
Assim, descrever e é justamente descrever essa região aí, como faremos descrevendo do :
enquanto que
Passo 7
Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!
Lembre-se que na integral mais interna, fica a que tem mais variável, no caso o , seguido pelo e depois o :
Começando com a integral de dentro...
e substituindo em ...
calculando agora a integral do meio considerando constante em relação ...
substituindo os limites de integração...
Obtemos...