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Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Questão 3: Considere a transformação de coordenadas T u ,   v = u ,   u v e a região D ⊂ R 2 dada por

D = x ,   y ∈ R 2   |   0 ≤ x ≤ 1 ,   x ≤ y ≤ 2 x .

c) Calcule a integral dupla

∬ D   e x 2 d x d y

Passo 1

Bem, para calcularmos essa integral dupla, repare que na ordem de integração que ela está mostrada

∬ D   e x 2 d x d y

Ou seja, com o d x primeiro, não conseguimos resolvê-la, afinal a integral de e x 2 d x não é uma integral fácil (na verdade impossível com os métodos vistos até agora). Por isso, o segredo é tentar mudar a ordem para d y d x .

Esta ordem, com o d y primeiro, indica que precisamos do y variando entre funções e o x entre números, ou seja, precisamos da região descrita como uma região do tipo 2 . O que para a nossa alegria, já está...

0 ≤ x ≤ 1

x ≤ y ≤ 2 x

Substituindo na integral...

∫ 0 1 ∫ x 2 x e x 2 d y d x

Bora calcular essa integral?

Passo 2

Essa integral pode ser resolvida lembrando-se que a integral em y não integra normalmente considerando tudo que tem x como constante...

∫ 0 1 ∫ x 2 x e x 2 d y d x = ∫ 0 1 e x 2 ∫ x 2 x d y d x =

∫ 0 1 e x 2 y x 2 x d x =

∫ 0 1 e x 2 2 x - x d x =

∫ 0 1 e x 2 x d x

Passo 3

Agora é só calcular essa integral, o que é bem tranquilo fazendo uma substituição simples...

x 2 = t                     →                           d t = 2 x d x             o u

x d x = d t 2

Trocando também os limites...

x = 0                   →                     t = 0 2 = 0

x = 1                   →                     t = 1 2 = 1

∫ 0 1 e x 2 x d x = ∫ 0 1 e t d t 2 =

1 2 e t 0 1 = 1 2 e - 1 2 e 0 =

1 2 e - 1 2

Resposta

1 2 e - 1 2

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