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Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 30a

  1. Calcule ∫ ∫ ∫ R ( x + y + z ) ( x + y - z ) d x d y d z para R limitada por: x + y + z = 1 , x + y + z = 2 , x + y - z = 0 , x + y - z = 2 , x - y - z = 1 e x - y - z = 2 ;

Passo 1

Olá meu amigo, hoje iremos resolver uma integral tripla limitada pela região R, antes de começar a pensar em como iremos resolve-la vamos visualizar a cara da região R.

Ok, talvez a figura tenha ficado um pouco confusa, mas o que temos ali é um paralelepípedo, então para facilitar nossas contas iremos realizar uma parametrização.

  u = x + y + z

v = x + y - z

w = x - y - z

u + w = 2 x

v - w = 2 y

u - v = 2 z

x = u + w 2

y = v - w 2

z = u - v 2

O nosso querido jacobiano sera dado por

J = 1 4

Passo 2

Agora iremos montar e calcular a nossa integral

∫ ∫ ∫ R x + y + z x + y - z d x d y d z

= ∫ 1 2 ∫ 0 2 ∫ 1 2 u v 4 d u d v d w

= ∫ 1 2 ∫ 0 2 v 4 ∙ 1 2 2 2 - 1 1 d v d w

= 3 8 ∫ 1 2 1 2 2 2 d w

= 3 4

Resposta

= 3 4

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