Integrais triplas
Determine a massa do sólido limitado por , , , , cuja densidade no ponto é o produto das coordenadas.
Passo 1
O problema pede que calculemos a massa do sólido delimitado pelas superfícies acima, sabendo que sua densidade é dada por . Nós sabemos que:
Onde é o diferencial de massa e o de volume. Integrando ambos os lados na região em que o sólido está contido, temos que:
Passo 2
Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Temos o plano (que é um plano qualquer) limitado por , e .
Para desenhar esse plano, podemos encontrar os pontos em que ele corta os eixos , e , fazendo, respectivamente, , e .
Para você ver mellhor, o sólido é esse aqui:
Passo 3
Agora vamos escrever matematicamente essa região. Vamos Escrevê-la como tipo I, limitada em por funções e no plano por uma área .
Na variável , o sólido é limitado embaixo pelo plano e em cima pelo plano , então, podemos escrever:
Depois nos preocupamos com essa região , ok?
Passo 4
Agora vamos levar isso aí para a integral
Isso nos dá
Passo 5
Agora vamos escrever matematicamente essa região , que é a projeção do sólido no plano . Olhando o sólido de cima, temos isso aqui.
A região de que estamos falando é esse triângulo aí. Para encontrar essa reta, basta fazer na equação do plano:
Essa reta é onde o plano corta o plano . Então, podemos escrever como região do tipo I, entre funções e entre números, temos:
Levando para a integral:
Passo 6
Agora vamos resolver isso aí.
Vamos então fazer a substituição:
Lembre-se de que nessa integração é visto como constante.
Agora fazemos a substituição