- Calcule , onde é a região delimitada por , , e .
Passo 1
Bem a primeira coisa que devemos fazer aqui é tentar entender um pouco mais sobre esse sólido . E não há nada melhor pra entendê-lo do que o desenhando no espaço. Bora?
Devemos começar desenhando cada uma dessas superfícies, vamos começar aqui essas duas mais fáceis. Veja!
- nos representa o próprio plano :
- Assim como a anterior, é o plano :
Agora, essa superfície , desenhamos um pouco diferente. Acompanhe-me!
Passo 2
Para superfície que só dependem de duas inc��gnitas como , podemos sempre desenhá-la no plano primeiro. No nosso caso, , note no plano nos representa uma reta e que vou desenha-la aqui pra você ohhh:
Colocando essa mesma reta no espaço...
Pois bem! Agora como essa equação não depende de , o que deve ser feito é “puxar” essa reta aí ao longo do eixo , saca? Então essa é a superfície:
No caso... É um plano !
Passo 3
Agora façamos o mesmo com essa outra superfície, ! Vamos lá! Agora pra ver se você entendeu como desenhar esse tipo de superfície, heim!
Primeiro devemos...?
desenhar a equação no plano (no caso no plano ):
Depois . . .
“Puxar” essa parábola em torno do outro eixo (no caso aqui é o ):
E prontinho! Esse é a superfície que carinhosamente chamamos de cilindro parabólico.
Passo 4
Wooooow! Cuidado, pois ainda não terminamos de ver o sólido! Temos que colocar essas coisas juntas. Assim, o nosso sólido é...
esse cara aí no meio!
Passo 5
Não trabalhamos com esse sólido dessa forma, por isso, a ideia aqui sempre será partir para a descrição dele. Nesse caso, cabe o , onde temos o variando de uma “base” até um “teto”
Como o plano laranja é justamente , basta...
Quanto ao e ao , olhemos para a projeção do sólido no plano . Bora?
Passo 6
Pow! Relaxa! Projetar esse sólido nesse plano nada mais é do que olhar para o sólido
mas dessa vez, botando seu olho em cima do eixo x:
Repare que essas curvas vêm justamente zerando a coordenada do cilindro parabólico.
Descrever e é apenas descrever essa região aí, que pode ser feita da seguinte forma
- varia em um intervalo numérico:
- , entre funções:
Passo 7
Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!
Lembre-se que na integral mais interna, fica a que tem mais variável, no caso o , seguido pelo e depois o :
Começando com a integral de dentro...