Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

Calcule a massa do solido R = x , y , z x + y + z 2 + x + y - z 2 + x - y - z 2 ≤ 25 ,   x + y + z ≥ 0 ,   x + y - z ≥ 0 } onde a densidade é δ x , y , z = ( x + y + z ) ( x + y - z ) .

Passo 1

Olá meu caro colega, tudo bem? Espero que sim, iremos agora dar inicio a resolução dessa querida questão e para isso o melhor a se fazer é encontrarmos uma mudança de variação adequada, isso irá facilitar muito nossas vidas.

u = x + y + z

v = x + y - z

w = x - y - z

x = u 2 + w 2

y = v 2 - w 2

z = u 2 - v 2

O nosso querido jacobiano é

J =   1 4

Passo 2

Agora passando para coordenadas cilíndricas, para deixar as coisas melhores ainda para a gente

u = ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ

v = ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ

w = ρ cos ⁡ ϕ

0 ≤ θ ≤ π 2

0 ≤ ϕ ≤ π

0 ≤ ρ ≤ 5

1 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 π ∫ 0 5 ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ ρ 2 sin ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

= 1 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 π sin ⁡ θ cos ⁡ θ sin 3 ⁡ ϕ ρ 5 5 0 5 d ϕ d θ

= 625 4 ∫ 0 π 2 sin ⁡ 2 θ 2 ∫ 0 π sin 3 ⁡ ϕ d ϕ d θ

= 625 8 ∫ 0 π 2 sin ⁡ 2 θ ∫ 0 π sin 3 ⁡ ϕ d ϕ d θ

= 625 8 ∫ 0 π 2 sin ⁡ 2 θ - cos ⁡ ϕ + cos 3 ⁡ ϕ 3 0 π d θ

= 625 6 ∫ 0 π 2 sin ⁡ 2 θ d θ

= 625 6 - cos ⁡ 2 θ 2 0 π 2  

= 625 6

Resposta

= 625 6

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