1. Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido limitado por:

1. , , , .

Para superfície que só dependem de duas incógnitas como , podemos sempre desenha-la no plano primeiro. No nosso caso, , no plano nos representa uma reta

Pois bem! Agora como essa equação não depende de , o que deve ser feito é “puxar” essa reta aí em torno do eixo , saca? Então essa é a superfície:

A última superfície, , encontra-se da mesma forma que a anterior, afinal de contas ele só depende de duas variáveis:

Wooooow! Cuidado, pois ainda não terminamos de ver o sólido! Temos que colocar essas coisas juntas

Assim, o nosso sólido é...

Para você por dentro, vou tirar esse plano da frente, veja:

O sólido é esse que esta indo do plano azul e indo até o “teto” vermelho

Não trabalhamos com esse sólido dessa forma, por isso, a ideia aqui sempre será partir para a descrição dele. Nesse caso, cabe o , onde temos o variando de uma “base” até um “teto”

Como o plano azul é justamente o plano , isolando ...

o cilindro vermelho é ...

Quanto ao e ao , olhemos para a projeção do sólido no plano . Bora?

Pow, relaxa! Projetar esse sólido nesse plano nada mais é do que olhar para o sólido

mas dessa vez, de cima para baixo:

Podemos descrever essa projeção como uma região do , afinal, já sabemos que

Falta agora obtermos a variação do . Pelo desenho da projeção, o está variando desse pedacinho vermelho até o outro. Agora quem são essas curvas?

Se olharmos para o sólido, vamos notar que essas curvas são sombras da intercessão do plano azul, com esse cilindro bizarro vermelho. Fazer essa interação na matemática é resolver os sisteminha entre a equação do plano azul com o cilindro, vermelho:

Como queremos a variação do , isolemos nessa equação...

Logo...

Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!

Lembre-se que na integral mais interna, fica a que tem mais variável, no caso o , seguido pelo e depois o :

Começando com a integral de dentro...