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Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Edson Figueiredo - 2ª Lista, Questão 2

Calcule a integral tripla da função f x , y , z = z , sobre o sólido do 1º octante, delimitado pelos planos y = 0 ,   z = 0 ,   x + y = 2 ,   2 y + x = 6 e pelo cilindro y 2 + z 2 = 4

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá, começaremos destacando aqui todas as regiões delimitadas: pegar aqui a nossa integral tripla:

y = 0 ,   z = 0 ,   x + y = 2 ,   2 y + x = 6

y 2 + z 2 = 4

Se a gente tentar fazer um esboço disso, vamos ter algo parecido com:

Porém, a gente precisa olhar com foco nos eixos x e y para saber como será a variação deles:

Para esse volume, vamos adotar uma variação de valor para y e variação de função para x (Tipo 2)

Passo 2

Vamos determinar aqui as variações:

Bom, em y vamos ter a variação:

0 ≤ y ≤ 2

Para x vamos ter que isolar em relação à equação dos planos:

x + y = 2 → x = 2 - y

2 y + x = 6 → x = 6 - 2 y

Logo:

2 - y ≤ x ≤ 6 - 2 y

E para z , nós vamos trabalhar a equação do cilindro:

y 2 + z 2 = 4

z = 4 - y 2

Então:

0 ≤ z ≤ 4 - y 2

Jogando tudo na nossa integral:

∫ 0 2 ∫ 2 - y 6 - 2 y ∫ 0 4 - y 2 z d z d x d y

Passo 3

Show, agora podemos calcular a nossa integral

∫ 0 2 ∫ 2 - y 6 - 2 y ∫ 0 4 - y 2 z d z d x d y

Vamos começar pela mais interna:

∫ 0 4 - y 2 z d z = z 2 2 0 4 - y 2

∫ 0 4 - y 2 z d z = 4 - y 2 2 2 = 4 - y 2 2

Ficando agora:

∫ 0 2 ∫ 2 - y 6 - 2 y 4 - y 2 2 d x d y = 1 2 ∫ 0 2 ∫ 2 - y 6 - 2 y ( 4 - y 2 ) d x d y

Vamos continuar derivando em relação a mais interna:

∫ 2 - y 6 - 2 y ( 4 - y 2 ) d x = 4 x - x y ² 2 - y 6 - 2 y

∫ 2 - y 6 - 2 y ( 4 - y 2 ) d x = 4 6 - 2 y - 6 - 2 y y 2 - 4 2 - y - 2 - y y 2

∫ 2 - y 6 - 2 y ( 4 - y 2 ) d x = 24 - 8 y - 6 y 2 + 2 y 3 - 8 - 4 y - 2 y 2 + y 3 )

∫ 2 - y 6 - 2 y ( 4 - y 2 ) d x = 16 - 4 y - 4 y 2 + y 3

Ficando agora:

1 2 ∫ 0 2 16 - 4 y - 4 y 2 + y 3 d y = 1 2 16 y - 2 y ² - 4 y 3 3 + y 4 4 0 2

1 2 ∫ 0 2 16 - 4 y - 4 y 2 + y 3 d y = 26 3

Resposta

26 3

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