Uma colônia de bactérias aumenta sua população a uma taxa proporcional à quantidade de bactérias presente em cada instante de tempo. Se em quatro horas a população triplica, em quanto tempo ela será vezes a quantidade inicial?
Passo 1
Bom, vamos tentar interpretar cada dado do problema e entender o que ele está pedindo, ok?!
Começamos com “Uma colônia de bactérias aumenta sua população a uma taxa proporcional à quantidade de bactérias presente em cada instante de tempo”. Quando falamos que ela aumenta a população, podemos pensar numa taxa de variação de uma função que depende do tempo. No caso, a função seria a própria população, que chamaremos de .
Essa constante é só por conta da palavra “proporcional”.
Passo 2
Agora podemos olhar para outra parte do enunciado “Se em quatro horas a população triplica”. Isso nos dá a seguinte informação:
Temos ali um , porque repara que ele diz que a população triplica, então precisamos ter uma quantidade inicial de bactérias. Opa! Também temos que , porque é a população inicial e vamos precisar dela para calcular a solução da EDO!
Passo 3
Vamos para última informação “em quanto tempo ela será vezes a quantidade inicial?”. Isso é justamente o que você tem que focar em responder! Escrevendo isso matematicamente:
Então queremos saber qual tempo que nos dará . Para isso, vamos resolver a EDO e encontrar o que ele pede.
Passo 4
Temos uma EDO de variáveis separáveis. Dá só uma olhada nela:
Podemos reescrevê-la desse jeito:
Integrando em ambos os lados:
Vamos agora usar a condição inicial dada no problema:
A partir daqui temos que:
Usando a segunda condição:
Então:
Passo 5
Vamos finalmente responder o que o enunciado pediu:
Pronto!
Resposta