23 . Uma colônia de bactérias aumenta sua população a uma taxa proporcional à quantidade de bactérias presente em cada instante de tempo. Se em quatro horas a população triplica, em quanto tempo ela será 27 vezes a quantidade inicial?

Passo 1

Bom, vamos tentar interpretar cada dado do problema e entender o que ele está pedindo, ok?!

Começamos com “Uma colônia de bactérias aumenta sua população a uma taxa proporcional à quantidade de bactérias presente em cada instante de tempo”. Quando falamos que ela aumenta a população, podemos pensar numa taxa de variação de uma função que depende do tempo. No caso, a função seria a própria população, que chamaremos de P .

d P d t = k P

Essa constante k é só por conta da palavra “proporcional”.

Passo 2

Agora podemos olhar para outra parte do enunciado “Se em quatro horas a população triplica”. Isso nos dá a seguinte informação:

P 4 = 3 P 0

Temos ali um P 0 , porque repara que ele diz que a população triplica, então precisamos ter uma quantidade inicial de bactérias. Opa! Também temos que P 0 = P 0 , porque é a população inicial e vamos precisar dela para calcular a solução da EDO!

Passo 3

Vamos para última informação “em quanto tempo ela será 27 vezes a quantidade inicial?”. Isso é justamente o que você tem que focar em responder! Escrevendo isso matematicamente:

P t = 27 P 0 → t = ?

Então queremos saber qual tempo que nos dará 27 P 0 . Para isso, vamos resolver a EDO e encontrar o que ele pede.

Passo 4

Temos uma EDO de variáveis separáveis. Dá só uma olhada nela:

d P d t = k P

Podemos reescrevê-la desse jeito:

1 P d P = k d t

Integrando em ambos os lados:

∫ 1 P d P = ∫ k d t

ln ⁡ P = k t + C

P t = e k t + C = D e k t

Vamos agora usar a condição inicial dada no problema:

P 0 = P 0

P 0 = D

A partir daqui temos que:

P t = P 0 e k t

Usando a segunda condição:

P 4 = 3 P 0

P 0 e k 4 = 3 P 0

e 4 k = 3 → 4 k = ln ⁡ 3 → k = ln ⁡ 3 4

Então:

P t = P 0 e t ln ⁡ 3 4

Passo 5

Vamos finalmente responder o que o enunciado pediu:

P t = 27 P 0

P 0 e t ln ⁡ 3 4 = 27 P 0

e t ln ⁡ 3 4 = 27

t l n 3 4 = ln ⁡ 27

t = 4 ln ⁡ 27 ln ⁡ 3 = 4 ln ⁡ 3 3 ln ⁡ 3 = 12   h o r a s

Pronto!

Resposta

23 .   12   h o r a s

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