Resolva a equação diferencial para r como função vetorial de t

dr/dt = (e^t)i - (2e^(2t))j - (3e^(3t))k

com a seguinte condição inicial:

r(ln(3)) = 3i + j - 26k

Passo 1

Fala aíí!! A questão está nos pedindo para resolver a equação diferencial, certo?

Olha só, no lado direito da equação diferencial, temos todos os termos em função de t , então a gente pode colocar o d t no lado direito e integrar dos dois lados, certo? Se eu faleo grego pra você, calma! Dá uma olhadinha aqui como vai ficar:

d r = ( e t d t )   i   - ( 2 e 2 t d t )   j - ( 3 e 3 t d t ) k

Só colocamos o d t pro outro lado, multiplicando os termos.

Agora, podemos integrar:

∫ d r = ( ∫ e t d t )   i   - ( ∫ 2 e 2 t d t )   j - ( ∫ 3 e 3 t d t ) k

E essa integral vai ficar:

r t = e t   i   - e 2 t   j - e 3 t k + C

Onde C é aquele constante que aparece quando a gente faz uma integração, beleza?

Bom, agora que já temos a nossa função, podemos usar a condição inicial que foi dada:

r ( ln ⁡ 3 ) = 3 i + j - 26 k

Vamos substituir t por ln ⁡ 3 na nossa função.

r ln ⁡ 3 = e ln ⁡ 3   i   - e 2 ln ⁡ 3   j - e 3 ln ⁡ 3 k + C

r ln ⁡ 3 = 3   i   - 9   j - 27 k + C

Bom, agora a gente iguala com a condição inicial e descobre quanto vale a constante C

3 i + j - 26 k = 3   i   - 9   j - 27 k + C → 10 j + k = C

Descobrimos quanto vale a nossa constante C = 10 j + k

Então, nossa função r ( t ) ficará:

r t = e t   i   - e 2 t   j - e 3 t k + C

r t = e t   i + 10 - e 2 t   j + 1 - e 3 t k + C

Questão resolvidaaaaa!!

Resposta

r t = e t   i + 10 - e 2 t   j + 1 - e 3 t k + C

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