UFRJ – Cálculo 2 – Lista de Integral e EDO – Questão 12
Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se
observa que após , houve uma redução de da quantidade inicial. Determine
a meia-vida da substância (meia-vida de uma substância radioativa é o tempo que a
substância leva para que sua massa decaia à metade da quantidade original).
Passo 1
Falaaa... beleza???
Nessa questão vamos determinar a meia vida da substância.
Com os dados conseguimos montar uma equação diferencial separável e encontrar a meia vida.
Passo 2
Como a substância descreve a uma taxa () proporcional à quantidade presente (), então podemos montar a edo separável:
Botando tudo que tem de um lado e do outro:
Integrando:
Passo 3
Para o instante inicial, temos e :
E uma hora depois temos e
Subtraindo uma equação da outra conseguimos sumir com o :
Usando as propriedades de log:
Passo 4
Como queremos achar o tempo de meia vida, então queremos achar o quando :
Podemos usar qualquer uma das duas equações do início do passo 3. Usando a primeira, que tem os dados do instante inicial:
Subtraindo uma da outra:
Usando a propriedades de log, do lado esquerdo: