Suponha que um foguete é projetado da superfície da Terra diretamente para cima com velocidade inicial , onde é o raio da Terra. Despreze a resistência do ar.
- Encontre uma fórmula para a velocidade em função da distância à superfície da Terra.
- Encontre o tempo necessário para o foguete percorrer 240.000 milhas(a distância aproximada da Terra à Lua). Suponha que milhas
Passo 1
a) Pra acharmos a fórmula que o problema pede vamos ter que lembrar dos nossos conhecimentos de física. Dessa forma, num movimento desacelerado sobre o efeito somente da gravidade teremos.
Onde é a constante universal gravitacional, é a massa do foguete e a massa da terra!
No entanto, nós sabemos que e que . Substituindo isso na nossa equação e cortando o .
Vamos passar essa equação para a forma que estamos acostumados? Partiu...
Que tipo de EDO é essa? Isso mesmo, separável. Basta fazer
Passo 2
Vamos colocar a mão na massa e resolver essa equação diferencial.
Integrando o lado esquerdo da equação.
Integrando o lado direito.
Igualando os dois lados e lembrando de somar uma contante para compensar essas integrais indefinidas que nós fizemos.
Passo 3
Substituindo o valor Inicial que ele deu
Substituindo o valor de C na equação que encontramos antes e manipulando um pouco teremos.
Passo 4
b)Lembrando que . Temos que para encontrar o tempo necessário pro foguete atingir 240.000 milhas devemos resolver a seguinte EDO.
Colocando na forma característica de resolução de equação separável.
Passo 5
Integrando o lado esquerdo da equação.
Integrando o lado direito da equação.
Igualando os dois lados e lembrando de somar uma contante para compensar essas integrais indefinidas que nós fizemos.
Passo 6
Usando o fato que , ou seja, que no momento inicial a distancia da superfície é zero, temos.
Manipulando pra escrever a equação de em função de.
Convertendo milhas prar metros, e e utilizando .
Resposta
a)
b)