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Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

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Enunciado

Fator Integrante

Uma doença rara se espalha em uma aldeia indígena de 5000 habitantes, e a taxa de variação das pessoas infectadas é proporcional ao quadrado da quantidade de pessoas infectadas vezes a quantidade de pessoas não infectadas. Inicialmente, há apenas uma pessoa infectada, porém após um dia, 200 pessoas estão infectadas. Qual alternativa é o modelo matemático apropriado para estudar a evolução dessa doença?

(a) p ' t = k p 2 5000 - p ,       p 0 = 1 ,     p 1 = 200

(b) p ' t = k p 2 5000 - p ,       p 0 = 1 ,     p 1 = 5000

(c) p ' t = 5000 p k - p ,       p ' 0 = 0 ,     p 1 = 200

(d) Nenhuma das outras opções

(e) p ' t = 5000 p k - p 2 ,       p 0 = 200 ,     p 1 = 200

Passo 1

Vamos chamar de p ( t ) a quantidade de pessoas infectadas em função dos dias, show?

O enunciado diz que “inicialmente, há apenas uma pessoa infectada”. Esse “inicialmente” é o dia zero, então quando t = 0 , p t = 1 . Ou seja,

p 0 = 1

Passo 2

Ele também diz que “após um dia, 200 pessoas estão infectadas”. Seguindo o mesmo raciocínio, concluímos que

p 1 = 200

Só assim, já eliminamos algumas alternativas! :D

Passo 3

Beleza, agora vamos tentar achar a expressão de p ' ( t ) , que é a taxa de variação das pessoas infectadas em função do tempo.

E o enunciado fala que essa taxa “é proporcional ao quadrado da quantidade de pessoas infectadas vezes a quantidade de pessoas não infectadas”.

Em um dia t , o número de infectados é p ( t ) . E o número de não infectados nada mais é que a população total menos o número de infectados! A população total é fixa em 5000 pessoas, então o numero de não infectados é 5000 - p ( t ) .

Ou seja, p ' ( t ) é proporcional a p t 2 ⋅ ( 5000 - p t ) .

Sendo k uma constante de proporcionalidade, obtemos

p ' t = k p t 2 500 0 - p t

ou simplesmente

p ' t = k p 2 5000 - p

Resposta

Alternativa (a)

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