Equações Separáveis
Um tanque com capacidade para litros está qcheio de água pura. Água salgada contendo de sal por litro entra no tanque a uma taxa de . A solução é agitada e retirada do tanque a mesma taxa. Seja a quantidade de sal no tanque a cada minuto.
Escreva uma equação diferencial que represente a taxa de variação da quantidade de sal no tanque. A taxa de variação de quantidade de sal no tanque é a diferença entre a taxa que entra e a taxa que sai.
Obtenha a solução geral desta equação.
Obtenha a quantidade de sal no tanque após hora.
Calcule
Passo 1
a)
Vamos começar entendendo o problema. Temos um tanque que tem uma capacidade de e que está cheio de água.
Além disso, temos agora salgada sendo bombeada para dentro do tanque, e agua salgada sendo bombeada para fora do tanque a mesma vazão, isso nos diz que o tanque sempre terá a mesma quantidade de água. Porém a quantidade de sal na água vai variando ao longo do tempo.
Vamos ver como fazemos essa conta, considerando o tempo em minutos vamos ver quando de sal entra por minuto.
Isso porque entra por minuto tendo de sal por litro. Então vai entrar
Temos que ver agora quando de água saí. Aqui é um pouco mais completo, porque não sabemos a concentração de sal que vai ter na parada.
Digamos que temos de sal no tanque, a concentração vai ser
Essa é a quantidade de sal por litro dentro do tanque, para saber quanto de sal sai por minuto, basta multiplicar essa concentração pela quantidade de litro que saem por minuto, ou seja, vamos ter
Passo 2
Agora que sabemos quando de sal sai e quanto de sal entra, a quantidade de sal variando por minuto vai ser
A variação é a derivada da quantidade de sal em relação ao tempo então
E essa é a nossa EDO que representa a taxa de variação de sal no tanque. Vamos deixar um pouco mais bonitinho
Passo 3
b)
Vamos resolver essa EDO agora. Repara que temos uma função só com do lado esquerdo, isso nos diz que essa equação é separável. Vamos jogar tudo com para esquerda e o para direita.
Vamos ter
Passo 4
Agora vamos integrar os dois lados
Vamos ter
Multiplicando tudo por
Então
Vamos separa essas potências
Trocando por vamos ter
Vamos tirar esse módulo agora
Assim vamos ter
Podemos trocar por uma constante sem problema nenhum
Não precisamos nos preocupar em achar agora, isso porque ele quer a solução geral da EDO que achamos e não a solução particular para o nosso caso.
Passo 5
c)
Aqui ele quer a quantidade de sal após hora, mas para isso temos que saber o valor de . Agora é aquele momento que você para respira e lembra de uma parada que ele disse no enunciado. O tanque inicialmente tinha água pura, a quantidade de sal no início então é . Isso nos diz que
Então
A EDO vai ficar
Passo 6
Agora que temos a equação completinha, vamos achar depois de hora. Mas fica atento numa pegadinha malandra deles, ele disse hora, mas o tempo é medido em minutos então
Cuidado com essas unidades
Vamos ter
E essa resposta fica feia assim mesmo.
Passo 7
d)
Agora ele quer o limite da função que achamos
Vamos ter