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Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de EDO - Lista 2, Questão 3.

3) Um objeto é retirado do freezer à temperatura de - 18 ° C e colocado em um ambiente cuja temperatura é 22 ° C . Observou-se que depois de 10   m i n u t o s a temperatura do objeto era - 8 ° C . Quanto tempo a mais será necessário para que a temperatura do objeto seja de 5 ° C ?

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos obter uma equação que descreva a temperatura de um objeto retirado de um freezer a - 18 ° C e colocado em um ambiente a 22 ° C .

Tem ideia do que podemos fazer? 🤔

Sabemos que após 10   m i n u t o s fora do freezer, o objeto está a - 8 ° C e qual deve ser o tempo necessário para o objeto chegar a 5 ° C >

Podemos utilizar a lei da transferência de calor para modelar a variação de temperatura do objeto com o tempo. Essa lei afirma que a taxa de variação de temperatura do objeto é proporcional à diferença entre sua temperatura e a temperatura ambiente. Matematicamente, podemos escrever:

d T d t = k T - T a

Onde T é a temperatura do objeto, T a é a temperatura ambiente e k é uma constante de proporcionalidade.

Entendeu essa parte? 😉

Passo 2

Essa é uma EDO linear de primeira ordem

d T d t - k T = - k T a

Obtendo o fator integrante, temos

u t = e ∫ - k d t = e - k t

Assim a solução T t será

T t = ∫ u t - k T a d t + C u t

T t = ∫ e - k t - k T a d t + C e - k t

Calculando a integral

∫ e - k t - k T a d t = - 1 k e - k t - k T a

T t = T a e - k t + C e - k t

T t = C e - k t + T a

Sabemos que em t = 0 , a temperatura do objeto era de maneira geral T 0 , ou seja

T 0 = C e 0 + T a = T 0

C = T 0 - T a

Portanto, a solução dessa equação diferencial é dada por

T t = T 0 - T a e - k t + T a

Substituindo T 0 = - 18 ° C e T a = 22 ° C

T t = - 18 - 22 e - k t + 22

T t = - 40 e - k t + 22

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora temos que ir em busca de obter a constante k .

Aplicando os valores de contornos, sabemos que 10   m i n u t o s após sair do freezer, o objeto estava a - 8 ° C , ou seja, se t = 1 equivale a 60   m i n u t o s , então 10   m i n u t o s equivale a

1 x = 60 10 → x = 0,166

Logo, T 0,1 66 = - 8

T 0,1 66 = - 40 e - k 0,1 66 + 22 = - 8

- 40 e - k 0,1 66 = - 30

e - k 0,1 66 = 0,75

Aplicando l n nos dois lados para simplificar e , chegamos em

ln ⁡ e - k 0,1 66 = ln ⁡ 0,75

- k 0,1 66 = - 0,29

k = - 1,73 3

Substituindo em T t

T t = - 40 e - 1,733 t + 22

Agora queremos saber o tempo t 1 em que T t 1 = 5 ° C . Substituindo no resultado

T t 1 = - 40 e - 1,733 t 1 + 22 = 5

- 40 e - 1,733 t 1 = - 17

e - 1,733 t 1 = 0,425

Aplicando l n nos dois lados novamente

ln ⁡ e - 1,733 t 1 = ln ⁡ 0,425

- 1,733 t 1 = - 0,856

t 1 = 0,49

Passando esse tempo para minutos, temos

1 0,49 = 60 x ' → x ' = 29   m i n u t o s

Mas a pergunta da questão foi “Quanto tempo A MAIS será necessário para que a temperatura do objeto seja de 5 ° C ?” ou seja, quanto tempo após os 10   m i n u t o s passados?

Logo, a resposta é 19   m i n u t o s !

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

19   m i n u t o s

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