UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 2 – Questão 13
Uma colônia de microrganismos aumenta sua população a uma taxa proporcional à quantidade de indivíduos presentes em cada instante de tempo, com população inicial , segundo a equação
Se em horas a população triplica, em quanto tempo ela será 27 vezes a população inicial?
Passo 1
Fala galera, tudo bem?
O problema nos deu uma equação diferencial que descreve a população de uns bichinhos com o passar do tempo. E a equação é essa aqui:
E ele também nos diz que no instante inicial, ou seja, quando , temos como população inicial. Esse a gente chama de condição inicial. Ela é uma característica do instante inicial do problema. É aquilo que deixa esse problema ser único.
Outra característica que deixa esse problema ser único é que em 4 horas a população triplica! Não é em toda colônia que isso acontece, certo? E como que a gente coloca isso em forma matemática?
Assim oh:
Então temos aqui duas condições iniciais que caracterizam por completo nosso problema!
Eu digo isso porque quando a gente resolve uma equação diferencial, ela pode até ter a mesma cara (mesmo núcleo de função como solução, tipo uma família de exponenciais), mas são as condições iniciais quem vão nos especificar qual solução é a nossa solução
Como é uma equação diferencial de ordem um (temos uma linha só ali no m) podemos tentar ver se essa equação é com variáveis separáveis, isto é, se conseguimos separar de um lado só com uma variável, tipo tudo que tem do lado esquerdo, e tudo que tem do lado direito. E aí integrar!
Tem outras técnicas também, mas logo de cara a gente testa essa, porque é a forma mais simples! E muitas vezes dá certo =) Ainda mais quando é crescimento de uma população (olha o spoooiler!)
Tranquilo?
Passo 2
A ideia aqui é resolver a equação diferencial da seguinte forma:
- trocar por ;
- tentar colocar tudo em de um lado, tudo que tem do outro e integrar dos dois lados;
- usar as condições iniciais pra achar as constantes;
- por fim com a solução em mãos, vamos calcular o que é pedido: quanto tempo leva pra população chegar a .
Beleza? Então é isso que vamos fazer! Bora lá?
Do passo 1 a equação diferencial é:
E daí vamos trocar por :
Como é uma constante, a posição dela pode ser aquela ali mesmo, se ela fosse uma função de aí a gente ia precisar parra ela pro outro lado. E a função , mesmo que dependa de , é m! então vou passar dividindo para o lado esquerdo. E por fim podemos passar o que está dividindo para o outro lado multiplicando:
Pronto! Ficamos do lado esquerdo só em função de m e do lado direito ó em função de t. Agora é integrar:
Como é constante, pode sair da integral em , e como é função de , então na hora de integrar vou usar só mesmo, pra integração ficar mais fácil. Agora é só integrar:
Essa é nossa solução! Mas para termos ela de forma bem específica, temos que encontrar e . E pra isso que vamos usar as condições iniciais!
Passo 3
Temos que , então substituindo na nossa solução
E daqui a gente já descobre uma das constantes! A nossa solução fica assim
E com a outra condição achamos o :
Perfeito! Agora nossa solução fica beeem determinada:
Belezinha?
Passo 4
O passo final é a gente encontrar o que o problema nos pergunta: em quanto tempo essa colônia vai ter vezes a população inicial? Então queremos saber quando
Agora que temos uma solução que relaciona tempo e população, é so usar ela:
Então o tempo pra população dessa colônia ficar maior é de !
Beleza?