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Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

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Enunciado

Equações Separáveis

A taxa com que o virus da gripe "C" se espalha em uma comunidade é proporcional ao número de pessoas infectadas vezes o número de pessoas não infectadas. No início da prova de Cálculo 2 em uma sala com 60 alunos, tinham 3 alunos gripados e 2 horas depois 35 alunos estavam contaminados. Seja p ( t ) o número de pessoas gripadas após t minutos e k ≥ 0 . O modelo matemático que melhor representa este problema é:

(a) d p d t = k p 60 - p ,     p 0 = 3 ,     p 120 = 35 .

(b) d p d t = k 3 60 - p ,     p 0 = 0 .

(c) d p d t = k 35 60 - p ,     p 0 = 3 .

(d) d p d t = k p 35 - p ,     p 0 = 3 .

(e) d p d t = k 35 60 - p ,     p 0 = 3 ,     p 120 = 35 .

Passo 1

Ele deu muita informação, então vamos juntar tudo pra não embolar:

  • p ( t ) é o número de alunos gripados após t minutos
  • tem 60 alunos na sala
  • no começo tinha 3 alunos gripados
  • depois de 2 horas tinham 35 contaminados
  • taxa com que se espalha é proporcional a i n f e c t a d o s × n ã o   i n f e c t a d o s

Beleza, agora vamos ver o que tiramos disso!

Passo 2

No começo, ou seja com t = 0 , tinham 3 pessoas infectadas. Logo, p 0 = 3 , certo?

E depois de 2 horas, ou seja 120 minutos, tinham 35 contaminados. Então p 120 = 35 .

Tranquilo né? Só assim de bobeira já eliminamos 3 alternativas!

Passo 3

Agora vamos achar a taxa de variação de infectados em relação ao tempo d p d t .

Sabemos que a taxa é proporcional ao número de pessoas infectadas vezes o número de pessoas não infectadas. O número de infectados a gente já sabe que é p . E os não infectados são simplesmente todo mundo menos os infectados, ou seja 60 - p .

Show! Então sendo k ≥ 0 uma constante de proporcionalidade, temos:

d p d t = k p ( 60 - p )

Resposta

Alternativa (a)

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