Determine uma família de curvas ( x ;   y c ( x ) ) ;   x   >   0 ;   y c ( x )   >   0 , que satisfazem a seguinte

propriedade: no intervalo [ 0 ;   x ] , a ordenada y c é proporcional à área determinada pela

curva, os eixos coordenados e a reta vertical que contém a abcissa x .

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você!

Nessa questão vamos determinar uma família de curva que satisfaça a propriedade do problema.

Isso vai dar pra gente uma equação diferencial separável. Pra chegar nessa família, vamos resolver essa equação diferencial.

Passo 2

Quando aparece a palavra “proporcional” a gente já sabe que é alguma constante multiplicando, então podemos escrever a edo:

d y c d x = k y c

Passando tudo que tem y c pra um lado e x pro outro:

d y c y c = k d x

Agora é só resolver!

Resolvendo:

ln ⁡ y c = k x + K

y c = e k x + K

y c = e k x e K

Chamando e K = c :

y c = c e k x

Beleza? É isso!

Resposta

y c = c e k x

Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

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