Equações Separáveis
Suponha que no instante , a metade de uma população de coelhos é infectada por um vírus que começa crescendo com uma taxa de coelhos por dia. Assumindo que a taxa com que o vírus se espalha é proporcional à quantidade de coelhos infectados vezes a quantidade de coelhos não infectados, determine o tempo que levará para que o vírus se espalhe por da população.
Passo 1
Formulação do problema:
Chamemos de a quantidade de coelhos infectados e a população total de coelhos.
A taxa com que o vírus se espalha é a taxa com que coelhos são infectados.
Portanto:
Onde é uma constante.
O problema diz que a taxa inicial é coelhos por dia.
Logo:
E também diz que metade da população está infectada inicialmente.
Então:
Agora temos um PVI:
Queremos descobrir o tempo para o qual:
Ou seja, em que tempo a quantidade de coelhos infectados é igual a da população total.
Passo 2
Como e são conhecidos, podemos calcular a constante substituindo na EDO:
Passo 3
Encontrar solução geral:
Colocar a derivada na forma em vez de e escrever apenas em vez de :
Passo 4
Isolar o termo de um lado da equação e o resto do outro:
Já está!
Passo 5
Multiplicar cruzado:
Passo 6
Separar tudo que tem para o lado do e tudo que tem para o lado do :
Como jogamos o termo para o denominador, temos que dizer que é diferente de zero:
Passo 7
Integrar os dois lados:
Para integrar o lado esquerdo da equação, precisamos desmembrar em frações parciais:
Igualando os numeradores temos que
Logo:
Substituindo:
Logo:
Substituindo na primeira equação:
Temos que
Lembrando que :
Passo 8
Se necessário, isolar :
Como apareceu um , vamos aplicar a exponencial nos dois lados:
Substituindo :
Passo 9
Resolver o PVI:
Substituindo na solução geral:
Substituindo condição inicial:
Substituindo valor da constante na solução geral:
Passo 10
Encontrar tal que :
Basta substituir para encontrar correspondente:
Substituindo valores de e :