Sabe-se que um certo material radioativo se desintegra a uma taxa proporcional à quantidade presente. Observa-se que um bloco deste material, que originalmente tinha , depois de ficou apenas com r. Encontre uma expressão para a massa do bloco em função do tempo. Calcule a meia-vida do material.

Primeiro, como temos que a taxa de desintegração do material é proporcional à quantidade presente, podemos escrever a seguinte equação diferencial para a sua massa:

sendo a massa do material medida em gr, e o instante de tempo medido em anos. Podemos resolver essa equação diferencial pelo método de separação de variáveis, que consiste em separar cada variável de um lado da equação e integrar:

Integrando,

Tomando a exponencial dos dois lados, temos

sendo . Beleza?

Agora vamos utilizar as condições

e

Substituindo

e

Isolando

Tomando o de ambos os lados

Então,

É a expressão para a massa em função do tempo

Agora vamos calcular o tempo de meia vida, que é o tempo que leva para a massa ser reduzida para a metade da sua quantidade inicial

Tomando o de ambos os lados

Então,

Esse é o tempo de meia vida.

E é isso! Espero ter ajudado!