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Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

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Enunciado

UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 2 – Questão 1

Inicialmente, havia 100 miligramas de uma substância radioativa presente. Após 6   horas a massa diminuiu 3 % . Se a taxa de decrescimento é proporcional à quantidade de substância presente em qualquer tempo, encontre a quantidade remanescente após 24 horas.

Passo 1

Fala galera, tudo bem?

Do enunciado temos que a massa inicial é m 0 = 100 m g , e que após t = 6 h a massa diminuiu 6 % :

m 6 = 94 m g

Daí temos um PVI com essas condições:

m 0 = 100

m 6 = 94

E queremos saber m 24 = ?

Certo?

Passo 2

Essa substância decai exponencialmente, já que a taxa de decrescimento é proporcional a massa, mas vamos chegar até lá!

Essa equação diferencial pode ser escrita da seguinte forma:

d m d t = - k m

A taxa que essa massa diminui d m / d t é negativa (porque ela diminui e não aumenta) e é proporcional (por isso aquele k ) a massa ( m ) . Então nosso primeiro ponto é determinar quem é esse k .

Vamos passar o d t pra direita e o m pra direita:

d m m = - k   d t

E integrar dos dois lados:

ln ⁡ m = - k t + C

m t = m 0 e - k t

Sabemos que m 0 = 100 , então:

m t = 100 e - k t

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos determinar esse k . Pela condição dada, temos que m 6 = 94 , daí:

94 = 100 e - 6 k

0,94 = e - 6 k

ln ⁡ 0,94 = - 6 k

k = - ln ⁡ 0,94 6 = 0,37

Aí nossa solução é:

m t = 100 e - 0,37 t

Passo 4

Agora vamos descobrir o que é pedido: m ( 24 ) :

m 24 = 100 e - ( 0,37   .   24 ) = 100 e - 8,91 = 0,013 m g

Pronto! A quantidade remanescente de produto é de 0,013 m g !

Então é isso pessoal! Terminamos!

Resposta

0,013 m g

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