Um material radioativo se desintegra a uma taxa proporcional à quantidade presente em cada instante. Supondo que a quantidade inicial de material que seja e que anos depois já tenha desintegrado do material inicial, determine sua meia-vida.
Passo 1
Vamos começar modelando o problema. Ele diz que o material se desintegra a uma taxa proporcional à quantidade presente, ou seja, quanto menor a quantidade, menor vai ser a taxa de desintegração.
Essa é uma característica típica das funções exponenciais, assim quantidade em dado instante será:
Para determinar , vamos usar a segunda parte da informação. Ele disse que a cada anos, desintegra-se do material, ou seja, a cada anos, sobram do material. Assim, para anos:
Agora isolando :
Ou seja, vamos ter:
Passo 2
Modelado o problema, vamos ver agora o tempo de meia-vida. O tempo de meia vida é o tempo que leva para a quantidade de material ser igual a metade da quantidade original. Ou seja, queremos tal que:
Bem, vamos manipular essa expressão então. Cortando :
Jogando para o outro lado:
Agora, aplicando o para poder cortar, vamos ter, recorrendo a calculadora:
Ou seja, são necessários anos para a quantidade de material cair pela metade.